7.2. Методи визначення гетероскедастичності

Можливість перевірки припущень про наявність гетероскедастичності залежить від природи вихідних даних. Розглянемо методи перевірки гетероскедастичності для різних вихідних даних.

7.2.1. Перевірка гетероскедастичності на основі критерію m

Цей метод застосовується тоді, коли вихідна сукупність спостережень досить велика. Розглянемо відповідний алгоритм.

Крок 1. Вихідні дані залежної змінної Y розбиваються на k груп відповідно до зміни рівня величини Y.

Крок 2. За кожною групою даних обчислюється сума квадратів відхилень:

Крок 3. Визначається сума квадратів відхилень в цілому по всій сукупності спостережень:

Крок 4. Обчислюється параметр :

де n — загальна сукупність спостережень; n_r — кількість спостережень r-ї групи.

Крок 7. Обчислюється критерій:

який наближено відповідатиме розподілу при ступені свободи , коли дисперсія всіх спостережень однорідна. Тобто якщо значення не менше за табличне значення при вибраному рівні довіри і ступені свободи , то спостерігається гетероскедастичність.

Приклад 7.2. Для даних, які наведено в прикладі 7.1, перевіримо наявність гетероскедастичності згідно з критерієм m.

Розв’язання.

Крок 1. Розіб’ємо дані, які наведені в табл. 7.1, на три групи, по шість спостережень у кожній.

група I	група II	група III
0,36	0,41	0,82
0,20	0,50	1,04
0,08	0,43	1,53
0,20	0,59	1,94
0,10	0,90	1,75
0,12	0,95	1,99

Крок 2. Обчислимо суму квадратів відхилень індивідуальних значень кожної групи від свого середнього значення:

2.1.

2.2.

Крок 3. Знайдемо суму квадратів відхилень за всіма трьома групами:

= S₁ + S₂ + S₃ = 0,05313 + 0,2822 + 1,1703 = 1,5056.

Крок 4. Обчислимо параметр

Крок 5. Знайдемо критерій

Цей критерій наближено задовольняє розподіл c² з k – 1 = 2 ступенями свободи. Порівняємо значення критерію з табличним значенням критерію c² з k – 1 = 2 ступенями свободи при рівні довіри 0,99 c²_кр = 9,21. Оскільки m > c²_кр, то дисперсія може змінюватись, тобто для даних табл. 7.1 спостері­гається гетероскедастичність.

7.2.2. Параметричний тест Гольдфельда — Квандта

Коли сукупність спостережень невелика, то розглянутий метод не застосовний.

У такому разі Гольдфельд і Квандт запропонували розглянути випадок, коли , тобто дисперсія залишків зростає пропорційно до квадрата однієї з незалежних змінних моделі:

Y = XA + u.

Для виявлення наявності гетероскедастичності згадані вчені склали параметричний тест, в якому потрібно виконати такі кроки.

Крок 1. Упорядкувати спостереження відповідно до величини елементів вектора X_j.

Крок 2. Відкинути c спостережень, які містяться в центрі вектора. Згід­но з експериментальними розрахунками автори знайшли оптимальні спів­відношення між параметрами c і n, де n — кількість елементів век- тора :

Крок 3. Побудувати дві економетричні моделі на основі 1МНК за двома утвореними сукупностями спостережень за умови, що перевищує кількість змінних m.

Крок 4. Знайти суму квадратів залишків за першою (1) і другою (2) моделями і :

, де — залишки за моделлю (1);

, де — залишки за моделлю (2).

Крок 7. Обчислити критерій

який в разі виконання гіпотези про гомоскедастичність відповідатиме F-роз­поділу з , ступенями свободи. Це означає, що обчислене значення R* порівнюється з табличним значенням F-крите­рію для ступенів свободи і і вибраного рівня довіри. Якщо , то гетероскедастичність відсутня.

Приклад 7.3. У табл. 7.3 наведено дані про загальні витрати та витрати на хар­чування. Для цих даних перевірити гіпотезу про відсутність гетероскедастичності.

Таблиця 7.3

Номер спостереження	Витрати на харчування	Загальні витрати		u	u2
1	2,30	15	2,16	0,14	0,020
2	2,20	15	2,16	0,04	0,002
3	2,08	16	2,20	-0,12	0,015
4	2,20	17	2,25	-0,05	0,002
5	2,10	17	2,25	-0,15	0,022
6	2,32	18	2,29	0,26	0,0007
7	2,45	19	2,34	0,11	0,012
8	2,50	20
9	2,20	20
10	2,50	22
11	3,10	64
12	2,50	68	2,37	0,13	0,016
13	2,82	72	2,52	0,29	0,085
14	3,04	80	2,68	0,36	0,128
15	2,70	85	2,99	-0,29	0,084
16	3,94	90	3,18	0,76	0,573
17	3,10	95	3,38	-0,28	0,076
18	3,99	100	3,57	0,42	0,178

Розв’язання.

1. Ідентифікуємо змінні:

Y — витрати на харчування, залежна змінна;

X — загальні витрати, незалежна змінна;

Y = f (X, u).

2. Для перевірки гіпотези про відсутність гетероскедастичності застосуємо параметричний тест Гольдфельда - Квандта.

2.1. Упорядкуємо значення незалежної змінної від меншого до більшо­го і відкинемо c значень, які містяться всередині впорядкованого ряду:

c » 4.

2.3. Визначимо залишки за цими двома моделями:

u_I = Y_I – ;

u_II = Y_II – .

Залишки та квадрати залишків наведено в табл. 7.3.

2.4. Обчислимо залишкові дисперсії та знайдемо їх співвідношення:

2.5. Порівняємо критерій R* з критичним значенням F-критерію при g₁ = 5 і g₂ = 5 ступенях свободи і рівні довіри Р = 0,99 F_a = 0,01 = 11. Оскільки R* > F_кр, то вихідні дані мають гетероскедастичність.