Частина 3. ПОБУДОВА ДОВІРЧИХ ІНТЕРВАЛІВ

Нехай вибірку об'єму n взято з генеральної сукупності ознаки, яка має нормальний розподіл з невідомими параметрами μ і σ2 . Довірчий інтервал для

де tγ – двостороння квантиль розподілу Стьюдента з n −1 степенями свободи рівня γ , а x і s – відповідно вибіркові середнє і стандартне відхилення (див.

рис. 6).

Функція Excel СТЬЮДРАСПОБР(вероятность; степени_свободы) ([2,

с. 512]) обчислює корінь рівняння P( X > u) = вероятность, де X – випадкова

величина з розподілом Стьюдента, параметр якого дорівнює степени_свободы. Тобто функція СТЬЮДРАСПОБР знаходить двосторонню критичну точку розподілу Стьюдента. Тому для знаходження двосторонньої квантилі рівня γ цього розподілу з допомогою цієї функції слід взяти вероятность = 1 – γ.

Для γ =0,95 і n =72 маємо tγ = 1,99. Тоді, використовуючи результати

роботи засобу Описательная статистика (див. рис. 6), маємо довірчий інтервал для середного значення об'єму ампул (1,07; 1,12), а для довжини –

(20,86; 21,60).

Довірчий інтервал для генеральної дисперсії σ2 з надійністю γ має

де χ12 і χ22 квантилі Хі-квадрат розподілу Пірсона з n −1 степенями свободи

рівнів (1 - γ)/2 і (1 + γ)/2 відповідно.

Функція Excel ХИ2ОБР(вероятность; степени_свободы) ([1, с. 279,

Табл. 7.3]) обчислює корінь рівняння P(X > u) = вероятность, де X –

випадкова величина з Хі-квадрат розподілом Пірсона, параметр якого дорівнює степени_свободы, тобто знаходить критичну точку цього розподілу. Тому для знаходження квантилі рівня γ розподілу Хі-квадрат з допомогою функції

ХИ2ОБР слід взяти вероятность = 1 – γ.

Для γ =0,95 і n =72 маємо χ12 = 49,59 а χ22 = 96,19. Тоді,

використовуючи результати роботи засобу Описательная статистика (див. рис. 6), маємо такі довірчі інтервали для дисперсій: для об'єму ампули (0,0082; 0,0159), а для довжини (1,8099; 3,5104).

Довірчий інтервал для генерального стандартного відхилення з

надійністю γ має вигляд

де число q знаходять за таблицею ([3, додаток 4]).

10

Для γ =0,95 і n =72 маємо q = 0,171. Тоді, використовуючи результати роботи засобу Описательная статистика (див. рис. 6), маємо такий довірчий

Зауважимо, що у таблиці ([3, додаток 4]) немає потрібного нам значення n = 72. Використаємо табличні значення для 70 і 80, які відповідно дорівнюють 0,174 і 0,161, і формулу лінійної інтерполяції

Згідно цієї формули

f (72) ≈ 0,174 + 0,161−0,174 (72 −70) = 0,171 80 −70

Можна також скористатися засобом Интерполяция онлайн, який знаходиться за адресою http://www.bl2.ru/matematic/iterpolation.html.

11

Частина 4. ПЕРЕВІРКА ГІПОТЕЗ

Нехай вибірку об'єму n взято з генеральної сукупності ознаки, яка має нормальний розподіл з невідомими параметрами μ і σ2 . Задамо рівень

значущості α і перевіримо нульову гіпотезу про рівність генеральної середньої конкретному числовому значенню H0 : μ = μ0 проти альтернативної гіпотези

гіпотеза H0 , то ця статистика має розподіл Стьюдента з n −1 степенями

свободи, а її значення близькі до нуля. За вибіркою обчислимо фактичне значення статистики tфакт і знайдемо двосторонню критичну точку розподілу

Стьюдента tкр рівня α .

Критерій. Якщо tфакт >tкр , то нульова гіпотеза відхиляється, якщо tфакт <tкр , то

немає підстав відхилити нульову гіпотезу.

Перевіримо, чи існує статистично значима різниця між середнім об'ємом ампул і значенням вибіркової медіани об'єму ампул 1,1 (див. рис. 6), якщо рівень значущості дорівнює 0,05? Нульова гіпотеза має вигляд H0 : μ =1,1.

= 1,093 −1,1 = −

Обчислимо фактичне значення статистики t 0,105 / 72 0,0079 .

Двосторонню критичну точку рівня α = 0,05 знайдемо за допомогою функції СТЬЮДРАСПОБР: tкр = 1,99. Оскільки tфакт <tкр , то різниця між середнім

об'ємом ампул і значенням вибіркової медіани об'єму ампул статистично не значима на рівні 0,05.

Командою Данные \ Сортировка сортуємо дані за довжиною ампул у порядку зростання і поділимо їх на дві групи. Першим 36 вибірковим значенням об'єму ампул присвоїмо категорію Sample = 1, а іншим 36 значенням

– Sample = 2. Будемо вважати ці групи вибірками з різних генеральних сукупностей з нормальним розподілом.

Створимо діаграми “ящики з вусами” для кожної групи.

12

Рис. 7. Діаграми “ящик з вусами” для об’єму ампул у двох групах.

Із діаграми видно, що середнє значення об’єму ампул другої групи більше ніж першої. Для кожної групи обчислимо вибіркові середні і дисперсії за допомогою функцій Excel СРЗНАЧ(массив) ([1, с. 151, Табл. 4.5]) і ДИСП(массив) ([1, с. 155, Табл. 4.6]). Для першої групи вони становлять відповідно 1,05 і 0,01, а для другої – 1,1361 і 0,0087

Перевіримо спочатку, чи існує статистично значима різниця між дисперсіями об'єму ампул у групах, якщо рівень значущості дорівнює 0,05?

Нехай дві вибірки об'ємами n1 і n2 взято з генеральних сукупностей з нормальним розподілом і невідомими дисперсіями відповідно σx2 i σy2 . Задамо

рівень значущості α і перевіримо нульову гіпотезу про рівність дисперсій

H0 :σx2 =σy2 проти альтернативної H1 :σx2 >σy2 . Критерій будуємо за допомогою

s2

статистики F = x , яка дорівнює відношенню більшої вибіркової дисперсії до s2y

меншої. Якщо вірна нульова гіпотеза, то ця статистика має розподіл Фішера з k1 = n1 −1 і k2 = n2 −1 степенями свободи, а її значення близькі до одиниці. За

даними вибірками обчислимо фактичне значення статистики Fфакт і знайдемо критичну точку розподілу Фішера-Снедекора Fкр >1 рівня α .

Критерій. Якщо Fфакт > Fкр , то нульова гіпотеза відхиляється, а якщо Fфакт < Fкр , то немає підстав відхилити нульову гіпотезу.

Обчислимо фактичне значення статистики F = 0,00870,01 =1,149 як

відношення більшої дисперсії до меншої.

Функція FРАСПОБР(вероятность; степени_свободы1;

степени_свободы2) ([2, с. 638]) обчислює корінь рівняння

P(X > u) = вероятность, де X – випадкова величина з розподілом Фішера-

Снедекора, параметри якого дорівнює степени_свободы1 і степени_свободы2, тобто знаходить критичну точку цього розподілу. В нашому випадку для двох вибірок маємо кількості степенів свободи k1 = k2 =35 . Тоді для α = 0,05

13

критична точка дорівнює Fкр = 1,757. Оскільки Fфакт < Fкр , то різниця між

дисперсіями об'єму ампул двох груп статистично не значима на рівні 0,05. F-тест в Excel можна виконати засобом Двухвыборочный F-тест для

дисперсий надбудови Пакет анализа ([2, с. 614]). У діалозі вводимо діапазони обох груп, у полі Альфа рівень значущості 0,05. Результати роботи надбудови аналогічні одержаним вище (див. рис. 8). У даному випадку обидві групи були розташовані в окремих стовпцях.

Двухвыборочный F-тест для дисперсии

Рис. 8. Результати роботи засобу “Двухвыборочный F-тест для дисперсии”. На практиці для перевірки гіпотези про рівність дисперсій за невеликими

вибірками (об’єм менше 100) рекомендується, крім F-тесту, користуватися тестами Бартлетта та Левена. Для обчислення цих тестів потрібні відповідні функції ([1, с. 244, Табл. 6.5]), які доступні якщо підключений модуль StatPlus. Їх треба шукати у загальному списку функцій. Якщо вибірки розрізняються категоріями, то користуються функціями BARTLETT2 і LEVENE2. Їх синтаксис однаковий: BARTLETT2(вибірка; категорії), LEVENE2(вибірка;

категорії). Якщо вибірки розташовані у різних стовпцях, як у нашому випадку, то користуються функціями BARTLETT і LEVENE. Їх синтаксис однаковий:

BARTLETT(стовпець1; стовпець2;…), LEVENE(стовпець1; стовпець2;…).

Ці функції повертають р-значення відповідних тестів. Якщо р-значення більше заданого рівня значущості α , то нульова гіпотеза про рівність дисперсій приймається. В іншому випадку нульова гіпотеза відхиляється.

Для наших вибірок BARTLETT = 0,67, LEVENE = 0,87. Оскільки ці значення більші заданого рівня значущості α =0,05 , то вони не суперечать гіпотезі про рівність дисперсій.

Перевіримо, чи існує статистично значима різниця між середніми значеннями об'єму ампул для двох груп, якщо рівень значущості дорівнює 0,05? Оскільки три тести підтвердили гіпотезу про рівність дисперсій, то використаємо засіб Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями

надбудови Пакет анализа ([2, с. 585]). Він реалізує критерій перевірки гіпотези про рівність генеральних середніх на основі двох незалежних вибірок, які мають нормальний розподіл з невідомими дисперсіями у припущенні, що дисперсії рівні. Задамо рівень значущості α =0,05 і застосуємо цей засіб для

14

перевірки нульової гіпотези про рівність генеральних середніх H0 : μ1 − μ2 = 0 проти альтернативної H1 : μ1 −μ2 < 0 . У діалозі вводимо діапазони обох

вибірок, у полі Гипотетическая средняя разность вводимо число нуль, а у полі Альфа рівень значущості 0,05. Результати роботи надбудови показані на рис. 9.

15

Теоретичні ймовірності pi попадання значень нормальної випадкової

величини в інтервали (xi , xi+1 ) дорівнюють pi = F(xi+1) − F(xi ) , де F(x) – інтегральна функція нормального розподілу. Тоді теоретичні частоти дорівнюють ni′ = n pi .

Для обчислення значень F(x) використаємо функцію НОРМРАСП(x;

среднее; стандартное_откл; интегральная) ([1, с. 186, Табл. 5.1]), де аргумент

интегральная має значення ИСТИНА або 1. Результати обчислень зведемо в таблицю.

Таблиця 1. Розрахунок теоретичних частот

Побудуємо діаграму із полігонами теоретичних і вибіркових частот (див. рис. 11). За виглядом полігонів можна висунути гіпотезу про нормальний розподіл об'єму ампул.

Рис. 11. Полігони теоретичних і вибіркових частот. Побудуємо діаграму ймовірностей нормального розподілу для об'єму

ампул. Її вигляд не суперечить гіпотезі про нормальний розподіл об'єму ампул.

Рис. 12. Діаграма ймовірностей нормального розподілу для об'єму ампул. Для перевірки гіпотези про нормальний розподіл об'єму ампул за

критерієм Пірсона використаємо функцію Excel ХИ2ТЕСТ

(фактический_интервал; ожидаемый_интервал) ([1, с. 279, Табл. 7.3]),

17

аргументи якої відповідно діапазони вибіркових і теоретичних частот. Ця функція по двох заданих масивах частот (n1, n2 ,...,nk ) і (ν1,ν2 ,...,νk ) обчислює

статистику критерію χ2 = ∑ik=1(ni −νi )2 /νi , а потім повертає р-ймовірність

P(X > χ2 ) , де Х – випадкова величина, яка має Хі-квадрат розподіл Пірсона з

k −1 степенем свободи. Якщо р-ймовірність більше заданого рівня значущості α , то нульова гіпотеза про розподіл генеральної сукупності приймається. В іншому випадку вона відхиляється.

В нашому випадку ХИ2ТЕСТ = 0,589. Оскільки це значення більше заданого рівня значущості α =0,05 , то воно не суперечить гіпотезі про нормальний розподіл об'єму ампул.

18

Частина 5. ДИСПЕРСІЙНИЙ АНАЛІЗ

Формуємо механічним способом вибірку з 30 одиниць, взявши 30 рядків наявної вибірки з парними номерами. Сортуємо одержану вибірку за величиною довжини ампул у порядку зростання. Першим 10 значенням об'єму ампул припишемо рівень фактора (довжини ампул) 1st, наступним 10 – 2nd, а останнім – 3rd.

Дисперсійний аналіз проведемо засобом Однофакторный дисперсионный анализ надбудови Пакет анализа ([2, с. 652]). Це вимагає,

щоб дані кожної групи знаходилися у різних стовпцях. Розташуємо 30 значень об'єму ампул у трьох стовпцях, які позначимо 1st, 2nd і 3rd.

Для проведення дисперсійного аналізу потрібно виконати такі дії:

Виконайте команду меню Сервис / Анализ данных / Однофакторный

дисперсионный анализ

У діалоговому вікні Однофакторный дисперсионный анализ у текстове поле Входной интервал ввести масив стовпців, виділивши його мишею

Встановити перемикач Группирование у положення по столбцам

Встановити перемикач Параметры вывода у положення Новый рабочий лист і ввести ім'я нового аркушу, наприклад, ДисперсАналіз

Клік на кнопці ОК

Результати дисперсійного аналізу наведено на рис. 13.

Рис. 13. Результати роботи засобу Однофакторный дисперсионный анализ.

З останньої таблиці видно, що фактичне значення статистики F = 13,28 більше її критичного значення 3,35, а р-значення 0,0001 менше заданого рівня значущості 0,05. Тому гіпотеза, що середні значення об'єму ампул для всіх груп однакові, відхиляється.

Як бачимо з першої частини таблиці середні значення для всіх груп різні. Щоб з'ясувати на скільки значуща ця різниця, необхідно обчислити різниці середніх для кожної пари груп і перевірити статистичну значущість цих різниць.

19

ВExcel немає засобів для порівняння кількох пар середніх без збільшення загальної похибки першого виду. Тому використаємо засіб модуля StatPlus – матрицю різниці середніх. Для її створення в нашому випадку потрібно виконати такі дії ([1, с. 376]):

Виконайте команду меню StatPlus / Multivariate analysis / Means Matrix

У діалоговому вікні Create Matrix of Mean Differences встановити перемикач Input Options у положення Values in separate columns і клік на кнопці Data Values

У діалоговому вікні Input Options встановити перемикач Select your input variables or columns у положення Use Range Reference, виділити масив даних і клікнути на кнопці ОК

У діалоговому вікні Create Matrix of Mean Differences встановити селектор

Use Bonferroni Correction

Клік на кнопці Output

У діалоговому вікні Output Options встановити перемикач Choose output destination у положення New Worksheet, ввести ім'я нового аркушу, наприклад, МатрицяСередніх і клік на кнопці ОК

Ще раз клік на кнопці ОК, щоб почати процес створення матриці парних різниць

Врезультаті одержимо такі таблиці.

Рис. 14. Результати роботи засобу Means Matrix.

З останньої таблиці видно, що р-значення різниць середніх менше заданого рівня значущості 0,05 лише для третьої групи. Отже, статистично значима різниця між середніми значеннями об'ємів ампул існує лише, коли довжина ампул достатньо велика (більша 21 мм).

20

Частина 6. КОРЕЛЯЦІНО-РЕГРЕСІЙНИЙ АНАЛІЗ

За двовимірною вибіркою (Length, Volume) побудуємо точкову діаграму ([1, с. 301]). Клік правою кнопкою миші на точках діаграми і у контекстному меню виберемо команду Добавить линию тренда. На вкладці Тип виберемо тип лінії Линейный. На вкладці Параметры встановимо прапорець поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R^2).

Рис. 16. Кореляційне поле з лінією тренду.

Лінія тренду (лінійної регресії) характеризує тенденцію збільшення (в середньому) об'єму ампул при збільшенні її довжини. Величина коефіцієнта

детермінації R2 показує, що близько 30% варіації об'єму ампул характеризується їх довжиною.

Регресійний аналіз проведемо засобом Регрессия надбудови Пакет анализа ([2, с. 867]). Для виконання регресійного аналізу потрібно виконати такі дії ([1, с. 305]):

Виконайте команду меню Сервис / Анализ данных / Регрессия

У діалоговому вікні Регрессия у текстове поле Входной интервал Y або ввести ім'я масиву Volume або виділити його мишею разом з міткою

У текстове поле Входной интервал X ввести ім'я масиву Length або виділити його мишею разом з міткою

Встановити селектор Метки

Встановити перемикач Параметры вывода у положення Новый рабочий лист і ввести ім'я нового аркушу, наприклад, ПараметриРегресії

У полі Остатки встановити всі селектори

Одержані результати (див. Рис. 17) поділені на шість областей ([1, с. 306]): статистика регресії, дисперсійний аналіз, оцінки параметрів регресії та їх статистика, передбачені значення та залишки, діаграма залишків та діаграма відхилення розподілу залишків від нормального розподілу.

В області статистики регресії показано описаний вище коефіцієнт детермінації R-квадрат і стандартну похибку, яка дорівнює 0,088773. Стандартна похибка описує розмір типового відхилення вибіркового значення (х, у) від лінії регресії. Стандартну похибку можна уявити собі як середню міру відхилень вибіркових значень від лінії регресії.

22

ВЫВОД ОСТАТКА

НаблюденПредсказа ОстаткиСтандартные остатки

1 1,158101 -0,0581 -0,65915

Рис. 17. Результати роботи засобу Регрессия.

В області дисперсійного аналізу наведені параметри мінливості об'єму ампул. Мінливість визначається двома складовими: змінами лінії регресії на довжину ампул та змінами викликаними іншими чинниками. Відповідно загальна сума квадратів відхилень 0,786528, яка наведена у стовпчику SS, складається з двох доданків: один її доданок 0,234884 визначається змінами лінії регресії, а інший 0,551644 – іншими чинниками. Остання сума має мінімальне значення для прямої лінії регресії. Частка загальної суми квадратичних відхилень пов'язана з регресією складає 0,234884 / 0,786528 = 0,298634. Ця величина дорівнює коефіцієнту детермінації R-квадрат. Частка від ділення загальної суми квадратичних відхилень (0,786528) на загальну кількість ступенів свободи (71) дорівнює 0,0111, тобто дисперсії об'єму ампул (див. рис. 6). Квадратний корінь із цієї величини дорівнює стандартному відхиленню об'єму ампул 0,105.

Унаступному стовпчику MS відображаються результати ділення сум квадратів відхилень на відповідну кількість степенів свободи із стовпчика df, тобто середньоквадратичні значення для регресії і залишків. Зверніть увагу, що

середньоквадратичне значення для залишків дорівнює квадрату стандартної похибки: 0,00887732 = 0,007881. Отже, середньоквадратичне значення для залишків можна використовувати для визначення стандартної помилки.

Устовпчику F наведено відношення середньоквадратичних значень для регресії і залишків. Велике значення F-відношення, що дорівнює 29,80528 свідчать при статистичну значущість регресії. У наступному стовпчику відображається відповідне р-значення, що становить 0,0000007.

23

Перевірку відповідності залишків нормальному розподілу виконаємо побудовою діаграми ймовірностей нормального розподілу залишків (див. рис. 18). Вигляд діаграми не суперечить гіпотезі про нормальний розподіл залишків.

Рис. 19. Діаграма нормального розподілу залишків регресії. Для перевірки гіпотези про незалежність залишків застосуємо тест

Дарбіна-Ватсона, статистика якого має вигляд

DW = ∑in=2 (ei −ei−1)2 ,

∑in=1ei2

де ei – і-й залишок у наборі даних. Якщо значення DW близькі до 0 або 4, то

залишки вважаються залежними, а якщо близькі до 2, то – незалежними. У модулі StatPlus передбачена функція DW(діапазон) для обчислення

статистики тесту Дарбіна-Ватсона ([1, с. 314]). Її значення для діапазону залишків в нашому випадку становить DW = 2,17795. Це значення близьке до 2, тому залишки можна вважати незалежними.

25

Література

1.Берк К., Кэйри П. Анализ данных с помощью Microsoft Excel.: Пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2005. – 560 с.

2.Статистика для менеджеров с использованием Microsoft Excel, 4-е изд. / Левин Д., Стефан Д., Кребиль Т., Беренсон М. : Пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2004. – 1312 с.

3.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для вузов. Изд. 7-е, стер. – М.: Высш. шк., 2000. – 479 с.

26