2. Функции сложного процента, используемые в базовых инвестиционных расчетах

Функциями сложного процента, используемыми в базовых инвестиционных расчетах, являются:

1. Накопление денежной единицы (единичного вклада) S

2. Текущая стоимость денежной единицы ν

3. Текущая стоимость аннуитета α

4. Взнос на амортизацию денежной единицы РМТ

5. Будущая стоимость аннуитета Sα(накопление периодической денежной единицы)

6. Фактор фонда возмещения SFF

Все формулы функций сложного процента приведены для денежного вклада размером в одну денежную единицу, годовой ставки накопления, начисления процентов по вкладу один раз в год.

2.1. Накопление единичного вкладапоказывает будущую стоимость S одной денежной единицы, размещенной на условиях сложного депозита наtлет подi процентов годовых.

S

(2.1)

i

Р

t

ис 2.1. Схема накопления стоимости единичного вклада

Определим будущую стоимость первоначального вклада в 100 ден ед, размещенного на 5 лет под 20% с использованием функции сложного процента: S= (1+0,2)⁵ * 100 = 2,48832 * 100 = 248,832

Табл. 2.1 - Определение будущей величины депозитного вклада и размера процентного дохода, при различных схемах начисления процентов

Год	Накопление на счету осуществляется по схеме
	Сложного процента			Простого процента
	%		депозит	%		депозит
1	20	120		20	100
2	24	144		20	100
3	28,8	172,8		20	100
4	34,56	207,36		20	100
5	41,47	248,832		20	100
итого	248,832			200

2.2 Текущая стоимость денежной единицы νпоказывает сегодняшний эквивалент стоимости денежного вклада, который мы ожидаем к получению черезtлет, если сегодняшняя ставка сложного процентаі.

Процесс определения сегодняшнего (текущего) эквивалента будущего денежного потока также называют дисконтированием, а коэффициент приведения – коэффициентом дисконтирования

Формула коэффициента дисконтирования (2.2)

Р

t

S

i

ис 2.2 Схема определения текущей стоимости будущего денежного потока

Пример:Определить текущую стоимость будущего поступления в размере 248,832 ден ед, ожидаемого к получению через 5 лет, если сегодняшняя ставка по сложным банковским депозитам составляет 20%. Сегодняшний эквивалент будущего вклада рассчитаем с использованием коэффициента дисконтирования:

Т.е. ожидаемый к получению через пять лет депозит в размере 248,832 ден ед сегодня эквивалентен 100 ден ед.

2.3. Текущая стоимость обычного аннуитета α.

Аннуитетомназывается серия одинаковых по величине платежей, которые поступают через равномерные интервалы времени, в один и тот же момент. Различают аннуитеты:

• Обычный (единичный, постнумерандо) - серия одинаковых платежей., поступающих в конце периодов

• Авансовый (нулевой, преднумерандо) – серия одинаковых платежей, поступающих в начале периодов.

Текущая стоимость аннуитетапоказывает сегодняшнее значение эквивалента накопленной суммы одинаковых платежей, поступающих периодически в течение периодаt, если ставка депозитаi.

Р

t

S

=

ис. 2.3 Схема определения текущей стоимости аннуитета

Формула коэффициента аннуитета: (2.3)

Таблица 2.2 - Определение текущей стоимости вклада в 1 ден ед, поступающего единично V, или периодическиa

год	V	a
1	0.9091	0.9091
2	0.8264	1.73551
3	0.7513	2.4868
4	0.6830	3.1698

2.4. Взнос на амортизацию денежной единицы РМТпоказывает размер регулярного периодического платежа, поступающегоtлет на погашение кредита, приносящего процентный доходi. Из этого взноса погашается и основная сумма кредита и проценты за его использование. Формула коэффициента

Р

t

S

ис.2.4. Схема определения взноса на погашение (амортизацию) долга

Пример: Рассчитать взнос на погашение кредита в размере 3,1698 ден ед, если мы должны вернуть его за 4 года под 10% годовых. Платежи на погашение долга должны поступать равномерно и периодически. Размер единичного платежа на погашение долга рассчитаем по формуле:. График погашения долга представим в таблице 2.3.

Таблица 2.3- График погашения кредита

год	Остаток долга на начало года	Платеж РМТ	Выплата на погашение процентов i	Выплата на погашение основной суммы долга	Остаток долга на конец года
1	2	3	4= i *2	5=3-4	6=2-5
1	3.1698	1	0.3169	0.68302	2.4868
2	2.4868	1	0.2487	0.75132	1.7355
3	1.7355	1	0.1735	0.8265	0.9090
4	0.9090	1	0.0909	0.9090	-

Таким образом, регулярно внося 1 ден ед в конце каждого года, мы сумеем погасить за 4 года и основную сумму кредита 3,1698 ден ед и 10% за его использование

2.5 Будущая стоимость аннуитета Sαпозволяет узнать чему будет равна в конце ожидаемого периодаtстоимость серии одинаковых взносов, депонированных подiпроцентов в конце каждого интервала поступления. Формула коэффициента будущей стоимости аннуитета:

(2.5)

Пример:рассчитаем будущую (накопленную) стоимость аннуитета в 1 ден единицу, поступающего в течение 3 лет на 10% депозит. Накопленный остаток на нашем депозите к концу 3 года составит :

Рис. 2.5. Образование будущей стоимости единичного аннуитета

t

S

А Б В Г

Движение денежных вкладов в 1 ден ед , регулярно и равномерно поступающих 3 года на 10% процентный депозитный счет, продемонстрируем в форме таблицы 2.4.

Таблица 2.4-Накопление средств на депозите

год	Поступление на депозит	Начисление процентов за текущий год	Остаток депозита на конец текущего года
1	1,00	0,00	1,00
2	1,00	0,10	2,10
3	1,00	0,21	3,31

2.6.фактор фонда возмещения SFFпоказывает, чему должен быть равен размер регулярного периодического платежа, поступающегоtлет на сложный депозит подiпроцентов, с целью образования известной суммы к концу периода. Формула коэффициента фонда возмещения:

(2.6)

Х1

Х2

Х3

t

S

Рис.2.6 Схема поступления платежей на возмещение конечной суммы

Движение денежных вкладов в 1 ден ед , регулярно и равномерно поступающих 3 года на 10% процентный депозитный счет, продемонстрируем в форме таблицы 2.4.

Таблица 2.4-Накопление средств на депозите

год	Поступление на депозит	Начисление процентов за текущий год	Остаток депозита на конец текущего года
1	1,00	0,00	1,00
2	1,00	0,10	2,10
3	1,00	0,21	3,31

Все формулы финансовой математики представлены для случая, если начисления процентов и поступления на вклад осуществляются 1 раз в году. Если же частота накопления и начисления должна быть больше чем один раз в год, все формулы трансформируются одинаковым образом: ставка процента i делится на частоту накопления σ, а период накопления t, выраженный в годах, умножается на частоту накопления σ.