3.6.2. Табличный метод минимизации

В этом методе два первых шага как бы объединены и выполняются с помощью специальной таблицы, называемой картой Карно (КК) или картой Карно-Вейча (еще иногда называемой диаграммой). Третий шаг выполняется так же, как и в расчетном методе. В принципе карта Карно является разновидностью табличной записи логической функции, заданной в СНДФ или в СНКФ, т.е. представляет разновидность таблицы истинности.

Для двух переменных КК представляет собой квадрат, разделенный на 4 клетки – по одной клетке на каждый набор переменных. Строки этой карты связываются с переменной, а столбцы – с переменной. Каждая клетка соответствует определенной конституенте, и ей присваивается свой порядковый номер, который представляет собой двоичное число, в разрядах которого записываются цифры (набор), находящиеся слева от клетки и сверху над ней. Фигурные скобки указывают, каким перемен

а б с

Рис.3.1. Варианты заполнения КК для случая двух переменных

менным соответствуют строки и столбцы карты (рис. 3.1, а).

Если при данном наборе, соответствующем номеру клетки, логическая функция равна 1, то единица записывается в эту клетку. Если логическая функция при данном наборе равна 0, то в клетку записывается 0 (или ничего не записывается).

На рис. 3.1, б приведена КК с одной заполненной клеткой, и соответствующая этой карте логическая функция будет . На рис.3.1, с приведена карта с тремя заполненными клетками, и ей будет соответствовать функция , т.е. конституенты, соответствующие заполненным клеткам в функции, соединяются дизъюнкцией.

В случае трех переменных КК содержит 8 клеток, и нумеруются они так, как показано на рис. 3.2. Номер каждой клетки получается объединением всех цифр, находящихся слева от клетки и сверху от нее.

Рис. 3.2. Карта Карно для случая трех переменных

Следует отметить особенность нумерации клеток. Их нужно нумеровать так, чтобы две рядом расположенные клетки отличались значением всего лишь одного разряда (переменной). Для этих целей используется не обычный двоичный код (тогда 3-й и 4-й столбцы на рис.4 были бы соответственно пронумерованы как 10 и 11), а двоичный отраженный код. Первая половина этого кода получается обычным образом, а вторая половина – зеркальным отражением первой, но не всех ее разрядов, а только младших (правых), а в старшем разряде ставится единица. То есть процесс получения отраженных кодов, мы можем представить так:

Для 3-разрядных двоичных чисел двоичный отраженный код формируется следующим образом:

Для четырех переменных КК содержит 16 клеток (рис. 3.3).

Рис. 3.3. Карта Карно для четырех переменных

Для пяти переменных необходимо иметь КК с 32 клетками. Эти 32

клетки можно представить как 2 карты по 16 клеток или одну карту на 32 клетки. Одна карта на 32 клетки будет иметь такую нумерацию строк и столбцов с учетом использования отраженных кодов, которая показана на рис. 3.4.

Рис. 3.4. Карта Карно для пяти переменных

В карте Карно, изображенной на рис. 3.4, нумерация клеток дается в десятичной системе счисления. Это позволяет производить очень компактную запись логической функции. Действительно, при записи логической функции, можно указать большой знак дизъюнкции(применяемый аналогично знакуилив обычной алгебре), в скобках после него перечислить те номера клеток, в которые должна быть помещена 1. Такую запись логической функции называют числовой.

Причем число клеток в КК зависит от числа переменныхm и будет определяться по максимальному номеру клетки как , где− ближайшая наибольшая целая часть, т.е., а− максимальный номер клетки в такой записи.

Например, если логическая функция записана в виде то это значит, что число клеток будет,т.е. число переменных будет 4, число клеток будета единицы надо поместить в клетки с номерами 0,1,3,4,6,9,11. В двоичной системе счисления эти номера будут иметь вид: 0000,0001,0011,0100,0110,1001,1011. Тогда КК с отображенной на нее приведенной функцией будет иметь вид, представленный на рис.3.5.

Рис. 3.5. Отображение заданной функции у на карту Карно

Теперь приведем правила минимизации с помощью КК.

1. соседних клеток, содержащих 1, и расположенных по вертикали либо по горизонтали в виде прямоугольника либо квадрата (такую совокупность клеток называют покрытием), соответствуют одной импликанте, ранг которойгде− число переменных, меньше ранга покрываемых конституент наединиц. Чем больше клеток в покрытии, тем проще выражаемый этим покрытием член логической функции − импликанта.

2. Импликанта, соответствующая некоторому покрытию заполненных единицами клеток, содержит символы тех переменных, значения которых совпадают у всех клеток, образующих покрытие. Причем символ берется с отрицанием, если для всех клеток покрытия он принимает значение 0, и без отрицания – в противном случае.

Пример. Минимизировать логическую функциюс помощью КК. Минимизируемая функция будет состоять из трех переменных, соответствующая ей КК будет состоять из 8 клеток. Поэтому КК, с отображенной на нее заданной функцией в виде помеченных единицами клеток и выделенных пунктирными линиями покрытий, приведена на рис.3. 6.

Рис. 3.6. Карта с выделенными покрытиями

Следует отметить некоторые особенности работы с покрытиями. Каждое покрытие нужно использовать только один раз. Если КК свернуть в цилиндр вдоль горизонтальной или вертикальной оси, то будет видно, что крайние клетки тоже оказываются соседними и они могут образовывать покрытие. Такой характерный случай покрытий для КК на четыре переменные приведен на рис. 3.7.

Рис. 3.7. Пример образования покрытий

Приведем еще один пример КК с отображенной на нее логической функцией, когда единицы находятся в крайних клетках. Эта функция имеет вид у =. Соответствующая ей КК приведена на рис.3.8.

Рис. 3.8. Карта Карно и результат минимизации для функции у=.

Недостатком рассмотренного метода считается то, что при числе переменных КК становятся громоздкими и неудобными для практического применения. Однако справедливости ради, нужно отметить, что сейчас уже имеются разработанные компьютерные программы, минимизирующие методом карт Карно логические функции со значительно большим числом переменных.