Kon_lin_an3

Так как функция '(s) финитная, то все интегралы являются сходящимися. Кроме того, в силу бесконечной дифференцируемости функции '(s t) по переменной t, правая часть полученного равенства бесконечно дифференцируема по t. Поэтому бесконечно дифференцируемой по t является и левая часть равенства, т.е. функция f(t).

Продифференцируем обе части уравнения f(t)f(s) = f(t + s) по s:

f(t)f0(s) = f0(s + t):

Подставляя s = 0 и полагая f0(0) = a, получим дифференциальное урав-

нение

f0(t) = af(t);

решение которого имеет вид

f(t) = Ceat:

Подставляя это решение в наше функциональное уравнение, получим:

CeatCeas = C2ea(t+s) = Cea(t+s);

откуда следует, что C = 1 и потому f(t) = eat, где a = f0(0). Далее, jf(t)j = jeatj = 1. Поэтому

eateat = 1:

Пусть a = + i . Тогда

eateat = e t+i te t+i t = e2 t[cos( t) + i sin( t)][cos( t) i sin( t)] = = e2 t[cos2( t) + sin2( t)] = e2 t = 1:

Следовательно, = 0, и потому a = i. Таким образом, решение нашего функционального уравнения имеет вид:

f(t) = ei t:

Обозначим решение уравнения fk(t)fk(s) = fk(t + s), k = 1, . . . , n через fk(t) = ei kt. Тогда для любого t 2 R1 матрицы [Ut] имеют вид:

111

Рассмотрим оператор

n

X

A = kPk;

k=1

где Pk проектор на одномерное подпространство, порожденное базисным вектором ek, k = 1, . . . , n. Тогда, в силу следствия 3.4.7 и замечания 3.4.2, оператор A самосопряжен и

n

X

Ut = Ut(A) = ei ktPk = eitA:

k=1

112

Глава 5

Нормальные операторы

5.1Нормальные операторы и пары коммутирующих самосопряженных операторов

Определение 5.1.1. Оператор A 2 B(H) называется нормальным, если

A A = AA :

Рассмотрим примеры нормальных операторов.

Если оператор A 2 B(H) самосопряжен, то

AA = A2 = A A;

и потому A нормальный оператор.

Если оператор U 2 U(H), то

UU = I = U U;

и потому U нормальный оператор. Пусть оператор A 2 B(H) и

Утверждение 5.1.2. Для того, чтобы линейный оператор A 2 B(H) был нормальным, необходимо и достаточно, чтобы операторы A1 = Re A и A2 = Im A коммутировали.

113

Доказательство. пусть оператор A нормальный, т.е. AA = A A. Тогда

2i

откуда A A = AA , т.е. оператор A нормален.

Упражнение 5.1.3. Проверьте справедливость утверждений.

Если A 2 B(H), ; 2 C такие, что j j = j j, то оператор A + A нормален.

ЕслиA нормальный оператор, то для любого многочлена

p(t) = 0 + 1t + + ktk

оператор p(A) является нормальным.

Утверждение 5.1.4. Если оператор A нормальный, то

(i)Для любого x 2 H kAxk = kA xk;

(ii)Ker A = Ker A.

Доказательство. (i). Для любого x 2 H имеем:

kAxk2 = (Ax; Ax) = (A Ax; x) = (AA x; x) = (A x; A x) = kA xk2;

откуда kAxk = kA xk.

(ii). Согласно (i), Ax = 0 тогда и только тогда, когда A x = 0.

Упражнение 5.1.5. Если оператор A 2 B(H) нормальный, то для любого унитарного оператора U 2 U(H) оператор U AU тоже нормальный.

114

5.2Спектральная теорема для нормального оператора

Утверждение 5.2.1. Если оператор A 2 B(H) нормальный и 2 (A), то подпространства N и N? инвариантны относительно A.

Доказательство. Пусть x 2 N = fx 2 H : Ax = xg. Тогда

A(Ax) = A( x) = Ax;

A(A x) = A Ax = A ( x) = A x:

Следовательно, N инвариантно относительно операторов A и A . Поэто-

му, в силу утверждения 2.5.6, подпространство N? инвариантно относительно (A ) = A.

Утверждение 5.2.2. Если x собственный вектор нормального оператора A с собственным значением , то x собственный вектор опера-

тора A с собственным значением .

Доказательство. Пусть N собственное подпространство оператора A, соответствующее собственному значению . Как следует из утверждения 5.2.1, пространство H раскладывается в ортогональную прямую сумму H = N N? инвариантных относительно A подпространств. В этом разложении матрица оператора A имеет блочную стуктуру

Поскольку N собственное подпространство оператора A, соответствующее собственному значению , имеем [A1] = I. Поскольку A имеет блочную стуктуру

и[A1] = I, заключаем, что N собственное подпространство оператора

, соответствующее собственному значению , т.е. .

A A x = x

Утверждение 5.2.3. Если оператор A 2 B(H) нормальный, k; j 2 (A),k 6= j, то собственные подпространства N k и N j оператора A ортогональны.

115

Доказательство. Пусть x 2 N k и y 2 N j . Тогда в силу нормальности оператора A и утверждения 5.2.2

(Ax; Ay) = (A Ax; y) = (A ( kx); y) = k(A x; y) = j kj2(x; y);

откуда (j k jj2)(x; y) = 0. Так как k 6= j при k 6= j, то (x; y) = 0, т.е. N k ? N j :

Теорема 5.2.4 (Спектральная теорема для нормального оператора). Для любого нормального оператора A 2 B(H) существует ортонормированный собственный базис, в котором матрица [A] оператора A имеет диагональный вид:

где 1, . . . , r попарно различные собственные значения оператора A. Доказательство. Пусть A нормальный оператор и

A = A1 + iA2 = A + A + iA A

2 2i

его декартово представление. Так как самосопряженные операторы A1 и A2 коммутируют, то в силу теоремы 3.5.6, существует ортонормированный базис fe1; : : : ; eng пространства H, в котором матрицы [A1] и [A2] диагональны и вещественны:

ak, bk 2 R, k = 1, . . . , n.

Следовательно, в этом базисе матрица [A] оператора A имеет вид:

116

Заметим, что базис fe1; : : : ; eng пространства H, относительно которого матрица [A] нормального оператора A диагональна, есть собственный базис оператора A, и

f 1; : : : ; ng = (A)

(среди чисел 1, . . . , n могут быть равные). Кроме того,

fa1; : : : ; ang = (A1); fb1; : : : ; bng = (A2)

(аналогично, среди чисел a1, . . . , an и, соответственно, среди b1, : : : , bn, могут быть равные).

Теорема 5.2.5 (Спектральная теорема для нормального оператора в форме разложения единицы). Если A 2 B(H) нормальный оператор, то существуют такие числа 1, . . . , r 2 C и ненулевые ортопроекторы P1, . . . , Pr 2 P(H), r 6 n, такие, что

(i)k 6= j при k 6= j;

(ii)Ортопроекторы P1, . . . , Pr попарно ортогональны;

Pr

(iii)k=1 Pk = I;

Условия (i)–(iv) определяют числа 1, . . . , r однозначно.

Доказательство. Покажем, что спектр (A) = f 1; : : : ; rg, где k 6= j при k 6= j, и ортопроекторы Pk = PN k на собственные подпространства

В силу того же утверждения 5.2.1, подпространства N? , k = 1, . . . , r

k

инвариантны относительно оператора A. Поэтому и подпространство M?

117

инвариантно относительно A. Следовательно, оператор A M? 2 B(M?) не имеет собственных значений, что невозможно. Противоречие показывает,

совпадает со спектром (A) оператора A: f 1; : : : ; rg = (A):

Так как ортопроекторы P1, . . . , Pr 2 P(H), r 6 n, ненулевые и попарно ортогональны, то для любого фиксированного k существует ненулевой вектор x 2 fPky : y 2 Hg. Тогда Pkx = x и Pjx = 0 для любого j 6= k.

Следовательно,

r

X

Ax = jPjx = kx;

j=1

т.е. k 2 (A).

Обратно, если 2 (A) и x 6= 0 такой, что Ax = x, то

rr

XX

rr

XX

Ax = kPkx = kxk:

k=1 k=1

Таким образом,

r

X

( k)xk = 0:

k=1

Так как векторы x1, . . . , xr принадлежат попарно ортогональным подпространствам, то либо xk = 0, либо k = 0 (при xk 6= 0). Но x 6= 0, поэтому существует хотя бы одно значение j, для которого xj 6= 0. Следовательно,= j и значит 2 (A). Таким образом, f 1; : : : ; rg = (A).

118

Следствие 5.2.6. Если оператор A 2 B(H) представим в виде

r

X

A = kPk;

k=1

где f 1; : : : ; rg = (A) и ненулевые ортопроекторы P1, . . . , Pr 2 P(H), r 6 n, такие, что

(i)k 6= j при k 6= j;

(ii)Ортопроекторы P1, . . . , Pr попарно ортогональны;

Pr

(iii)k=1 Pk = I,

то A нормальный оператор.

где f 1; : : : ; rg = (A) и P1, . . . , Pr 2 P(H), r 6 n, ненулевые проекторы, удовлетворяющие условиям (i)–(iii), называется спектральным разложением оператора A.

Теорема 5.2.7. Пусть A 2 B(H) нормальный оператор.

(i)A обратимый оператор тогда и только тогда, когда 0 62 (A):

(ii)A унитарный оператор тогда и только тогда, когда

(A) fz 2 C : jzj = 1g:

(iii) A идемпотентный оператор тогда и только тогда, когда

(A) f0; 1g:

119

Доказательство. Необходимость. Пусть A 2 B(H) нормальный оператор.

(i). Пусть оператор A обратим, 2 (A) и Ax = x, x 6= 0. Тогда

x = A 1Ax = A 1( x) = A 1x:

Следовательно, 6= 0. Таким образом, 0 62 (A). (ii). Доказано в утверждении 4.2.1.

(iii). Пусть A идемпотентный оператор, т.е. A2 = A, 2 (A) и Ax = x, x 6= 0. Тогда

x = Ax = A2x = A(Ax) = A( x) = 2x:

Следовательно, 2 = . Таким образом, 2 f0; 1g, т.е. (A) f0; 1g.

Pr

Достаточность. Пусть A = k=1 kPk спектральное разложение нормального оператора A, где f 1; : : : ; rg = (A).

(i). Пусть 0 62 (A). Рассмотрим оператор

Следовательно, A унитарный оператор. (iii). Пусть (A) f0; 1g. Тогда

rr

XX

A2 = 2kPk = kPk = A;

k=1 k=1

так как 2 = . Следовательно, A идемпотентный оператор.

120