Kon_lin_an3

Напомним, что подпространство L алгебры A называется

правым идеалом, если из A 2 L, B 2 A следует, что AB 2 L;

левым идеалом, если из A 2 L, B 2 A следует, что BA 2 L;

двусторонним идеалом, если оно одновременно является и левым, и правым идеалом;

-идеалом, если оно является (правым или левым) идеалом и из A 2 L следует, что A 2 L (такой идеал всегда будет двусторонним

идеалом).

Во всякой алгебре имеется два тривиальных идеала: нулевой состоящий из единственного элемента 0, и сама алгебра A. Все остальные идеалы алгебры A называются нетривиальными.

В силу утверждения I(L).3.3.6, алгебра B(H) и Mn(C) являются простыми, т.е. не содержат нетривиальных двусторонних идеалов. Поэтому алгебры (B(H); J ) и (Mn(C); [J]) не содержат нетривиальных -идеалов.

7.2Инволюции на конечномерных алгебрах

Даже на конечномерной алгебре A бывает невозможно ввести инволюциютак, чтобы пара (A; ) была -алгеброй.

Пример 7.2.1. Пусть A = C2 = fx = (z1; z2) : z1; z2 2 Cg двумерная алгебра с умножением

x x0 = (z1; z2) (z10 ; z20 ) = (z1z10 ; z2z10 ):

Легко видеть, что er = (1; 0) правая единица алгебры A. Если бы на алгебре A можно было ввести инволюцию , то элемент er = (1; 0) должен быть левой единицей, в то время как таковая в алгебре A отсутствует.

Определение 7.2.2. Пусть (A; ) алгебра с инволюцией. Инволюцияназывается точной, если из условия

x x = 0; x 2 A;

следует, что x = 0.

Пример 7.2.3. Пусть A конечномерная алгебра с умножением

x y = 0 для любых x; y 2 A:

161

Выберем в алгебре A базис fe1; : : : ; eng и положим

В построенной таким образом -алгебре (A; ) x x = 0 для любого x 2 A. Таким образом, построенная инволюция не является точной.

Упражнение 7.2.4. Пусть -алгебры (A; ) и (B; ?) -изоморфны. Доказать, что если инволюция точная, то и инволюция ? тоже точная (т.е., точность инволюции сохраняется при -изоморфизме).

В конечномерных алгебрах возможны различные инволюции, т.е. такие инволюции, при которых соответствующие -алгебры не -изоморфны.

Пример 7.2.5. Пусть A = C2 = fx = (z1; z2) : z1; z2 2 Cg двумерная алгебра с покоординатным умножением

x x0 = (z1; z2) (z10 ; z20 ) = (z1z10 ; z2z20 ):

Рассмотрим в алгебре A две инволюции и ?, положив

x = (z1; z2) = (z1; z2); x? = (z1; z2)? = (z2; z1):

Легко видеть, что (C2; ) и (C2; ?) -алгебры.

Утверждение 7.2.6. -Алгебры (C2; ) и (C2; ?) не -изоморфны.

Доказательство. Пусть x = (z1; z2) 2 C2. Тогда x = (z1; z2) и x? = (z2; z1). Поэтому

Утверждение 7.2.7. Инволюция : A ! A в алгебре B(H) является точной.

Доказательство. Пусть A 2 B(H) такой, что A A = 0. Тогда, в силу следствия 2.1.4, для любого x 2 H имеем:

0 = (A Ax; x) = (Ax; Ax) = kAxk2:

Следовательно, Ax = 0 для любого x 2 H, т.е. A = 0.

162

Определение 7.2.8. Пусть (A; ) алгебра с инволюцией и единицей e. Элемент x 2 A называется

самосопряженным (или эрмитовым), если x = x : Обозначим через

Ah множество всех самосопряженных элементов из A.

ортопроектором, если x2 = x = x: Обозначим через P(A) множество всех ортопроекторов из A.

отражением, если x 2 Ah и x2 = e: Обозначим через O(A) множество всех отражений из A.

унитарным, если xx = x x = e: Обозначим через U(A) множество всех унитарных элементов из A.

нормальным, если x x = xx : Обозначим через AN множество всех нормальных операторов из A. .

нильпотентным, если для некоторого натурального числа r выполняется равенство: xr = 0; Обозначим через N(A) множество всех нильпотентных операторов из A.

изометрическим, если x x = e: и коизометрическим, если xx = e:

Обозначим через I(A) множество всех изометрических, а через CI(A) множество всех коизометрических элементов из A.

частично изометрическим, если x x = p 2 P(A): Обозначим через

V(A) множество всех частично изометрических элементов из A.

центрированным, если элементы xk(x )k, (x )kxk образуют коммутативное семейство, т.е. для всех k; j 2 N выполняются соотношения:

7.3Инволюции в алгебре Mn(C)

Целью данного параграфа является описание с точностью до -изомор- физма всех инволюций на алгебре Mn(C) и выделение среди них точных.

Стандартная инволюция в алгебре Mn(C) переход к сопряженной матрице, т.е. для любой матрицы [A] = (aij)ni;j=1 2 Mn(C), aij 2 C,

является точной.

163

Утверждение 7.3.1. Если ? инволюция в алгебре Mn(C), то существует обратимая матрица [S] 2 Mn(C) такая, что [S] = [S] и

Так как все автоморфизмы алгебры Mn(C) внутренние (см. I(L), теорема 3.3.10), то существует обратимая матрица [B] 2 Mn(C), такая, что

([A]) = ([A]?) = [B] 1[A][B]

для любой матрицы [A] 2 Mn(C). Тогда

[A]? = (([A]?) ) = ( ([A])) = ([B] 1[A][B]) = [B] [A] ([B] 1) = = [B] [A] ([B] ) 1 = [C] 1[A] [C];

где [C] = ([B] ) 1. Далее, так как

[A] = ([A]?)? = [C] 1([A]?) [C] = [C] 1[C] [A]([C] ) 1[C];

то

[C] 1[C] [A] = [A][C] 1[C]

для любой матрицы [A] 2 Mn(C). Следовательно, матрица [C] 1[C] принадлежит центру Z(Mn(C)) алгебры Mn(C). Но (см. I(L), теорема 3.3.11)

Z(Mn(C)) = f I : 2 Cg:

Поэтому [C] 1[C ] = I для некоторого 2 C. Таким образом,

[C] = [C]:

Так как

[C] = ([C] ) = ( [C]) = [C];

то j j = 1 и потому = ei', ' 2 [0; 2 ). Положим [S] = ei'=2[C]: Тогда

получим:

[S] = e i'=2[C] = ei'=2[C] = [S]

164

и

[A]? = [C] 1[A] [C] = [S] 1[A] [S];

т.е. любая инволюция в алгебре Mn(C) имеет вид (7.1).

Обратно, непосредственно проверяется, что любая обратимая матрица [S] = [S] 2 Mn(C) задает по формуле (7.1) инволюцию в алгебре

Mn(C).

Пример 7.3.2. Пусть ? инволюция в алгебре Mn(C), определяемая равенством (7.1):

[A]? = [S] 1[A] [S]; [S] = [S]; [A] 2 Mn(C):

Тогда существует унитарная матрица U 2 Mn(C) такая, что

где k 2 R, k = 1, . . . , n собственные значения матрицы [S] (см. замечание 4.2.7). Определим инволюцию ] в Mn(C) следующим образом:

[A]] = ([U] [S] 1[U])[A] ([U] [S][U]):

Непосредственно проверяется, что (Mn(C); ]) -алгебра.

Утверждение 7.3.3. -Алгебры (Mn(C); ?) и (Mn(C); ]) -изоморфны.

Доказательство. Рассмотрим автоморфизм алгебры Mn(C), определяемый формулой:

то -изоморфизм -алгебр (Mn(C); ?) и (Mn(C); ]).

165

Так как свойство инволюции быть точной сохраняется при переходе к-изоморфным -алгебрам, то в дальнейшем матрицу [S] в формуле (7.1) будем считать диагональной. Полярное разложение матрицы [S] имеет вид:

(Mn(C); [J]), где [J] диагональная матрица со свойствами:

[J] = [J] = [J] 1:

Инволюция [J] задается по формуле:

[A] [J] = [J][A] [J]:

166

Отметим, что инволюция [J] равна инволюции [J].

Утверждение 7.3.7. Инволюция [J] точная тогда и только тогда, когда [J] = I или [J] = I.

Доказательство. Рассмотрим на алгебре M2(C) инволюцию ?, задаваемую формулой:

Для матрицы

1 1 [A0] = 1 1

имеем:

в то время как [A0] 6= 0. Следовательно, инволюция ? не является точной. Аналогичные рассуждения можно провести в случае n > 2. Осталось заметить, что при [J] = I инволюция ? является точной.

Таким образом, имеет место следующая теорема:

Теорема 7.3.8. (Описание инволюций на Mn(C)).

(i)Для любой инволюции ? на матричной алгебре Mn(C) существует такая диагональная матрица [J] = [J] 1 = [J] , что -алгебры (Mn(C); ?) и (Mn(C); [J]) -изоморфны.

(ii)Стандартная инволюция на матричной алгебре Mn(C) является единственной с точностью до -изоморфизма точной инволюцией.

(iii)-алгебры (Mn(C); [J]) и (Mn(C); [J0]) -изоморфны тогда и только тогда, когда матрица [J] унитарно эквивалентна матрице [J0]:

U 0

[J] s [J ];

т.е. когда кратность (+1) в спектре матрицы [J] равна либо кратности (+1), либо кратности ( 1) в спектре матрицы [J0].

167

Так как существует -изоморфизм между -алгебрами (B(H); ) и (Mn(C; ), то имеет место следующая теорема:

Теорема 7.3.9. (Описание инволюций на B(H)).

(i)Для любой инволюции ? на алгебре B(H) существует такой оператор J = J 1 = J , что -алгебры (B(H);?) и (B(H); J ) -изоморфны.

(ii)Стандартная инволюция на алгебре B(H) является единственной с точностью до -изоморфизма точной инволюцией.

(iii)-алгебры (B(H); J ) и (B(H); J0) -изоморфны тогда и только тогда, когда отражение J унитарно эквивалентно отражению J0:

U 0

J s J ;

т.е. когда кратность (+1) в спектре оператора J равна либо кратности (+1), либо кратности ( 1) в спектре оператора J0.

168

Литература

[1]А. Б. Антоневич, Я. В. Радыно. Функциональный анализ и интегральные уравнения Минск, БГУ, 2003. 430 с.

[2]Р. Белман. Введение в теорию матриц Москва, Наука, 1969. 368 c.

[3]Ю. M. Березанский, Г. Ф. Ус, З. Г. Шефтель. Функциональный анализ Киев: Вища школа, 1990. 600 c.

[4]В. В. Воеводин. Линейная алгебра Москва: Наука, 1974. 336 с.

[5]Ф. Р. Гантмахер. Теория матриц Москва: Тех.-теор. лит, 1953. 491 с.

[6]И. М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре Москва: Наука, 1966. 280 с.

[7]И. M. Глазман, Ю. И. Любич. Конечномерный линейный анализ Москва: Наука, 1969. 476 с.

[8]Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. Функциональный анализ Москва: Наука, 1984. 752c.

[9]П. Ланкастер. Теория матриц Москва: Наука, 1978. 280 c.

[10]Г. Д. Луговая, А. Н. Шерстнев. Функциональный анализ. Специальные курсы Москва: Изд. ЛКИ, 2008. 256 с.

[11]Л. А. Люстерник, В. И. Соболев. Элементы функционального анализа Москва, Наука, 1965. 520 c.

[12]В. С. Мазорчук. Жорданова нормальна форма Киев: РВЦ “Київський унiверситет”, 1998. 119 c.

[13]Ф. Ф. Султанбеков. Конечномерные алгебры операторов Казань: Изд. Казанского университета, 1986. 78 с.

[14]П. Р. Халмош. Гильбертово пространство в задачах Москва: Мир, 1970. 352 с.

169

[15]П. Р. Халмош. Конечномерные векторные пространства Москва: Физматгиз, 1963. 264 с.

[16]В. С. Чарин. Линейные преобразования и выпуклые можества Киев, Вища школа, 1978. 192 с.

[17]Г. Е Шилов. Введение в теорию линейных пространств Москва: Тех.-теор. лит, 1952. 384 с.

170