LinearSpaces_2013

рівними, якщо вони співпадають як відображення, тобто, для довільного

A (a1 ) 11a1 21a2 n1an , A (a2 ) 12 a1 22 a2 n 2 an ,

…

A(an ) 1n a1 2 n a2 nn an .

Зкоефіцієнтів складемо таку матрицю:

11

Матриця Α називається матрицею лінійного перетворення A в базисі a1 , a2 , , an . Для того, щоб скласти матрицю лінійного перетворення A в базисі a1 , a2 , , an , необхідно в її стовпчики послідовно виписати координати векторів A (a1 ), A (a2 ), , A (an ) в цьому базисі.

1.16. Властивості матриць лінійних перетворень.

1)Лінійні перетворення скінченновимірного простору рівні тоді і тільки тоді, коли в деякому базисі їх матриці співпадають.

2)Нехай V – векторний простір розмірності n над полем F , a1 , a2 , , an –

A (an ) задаються в деякому іншому базисі. B, C – квадратні матриці

порядку n , стовпчики яких складаються з координат системи векторів a1 , a2 , , an і A (a1 ), A (a2 ), , A (an ) відповідно. Тоді виконується

матрична рівність C BA

1.17. Обчислення координат образу вектора при лінійному перетворенні.

Теорема.

Нехай A – лінійне перетворення скінченновимірного простору V ,

1.18. Поняття ядра та образу лінійного перетворення.

Нехай A – лінійне перетворення векторного простору V над полем F . Ядром Ker A лінійного перетворення A називається множина

Ker A {x V | A (x) }.

12

Ядро лінійного перетворення є підпростором.

Дефектом def (A ) лінійного перетворення A скінченновимірного

простору називається розмірність його ядра:

def (A ) dim Ker A .

Лінійне перетворення A називається невиродженим, якщо

Ker A { }.

Образом Im A лінійного перетворення A називається множина

Im A { A (x) | x V }.

Образ лінійного перетворення є підпростором.

Рангом лінійного перетворення A скінченновимірного простору V називається розмірність образу лінійного перетворення:

r (A ) dim Im A .

Теорема (про розмірність ядра та образу лінійного перетворення).

Нехай A – лінійне перетворення векторного простору V , dimV n ,

тоді dim Ker A dim Im A n .

З цієї теореми та наведених вище означень випливає, що

def ( A ) + r (A ) dimV n .

1.19. Алгебра лінійних операторів.

1.Нульовим оператором називається такий оператор O , що для будь-якого

xV O (x) .

Нульовому оператору O в довільному базисі відповідає нульова матриця.

2.Одиничним оператором називається такий оператор E , що для будьякого x V E (x) x .

оператор A B , що для довільного x V (A B ) (x) A (B ( x) ). Добутку

13

операторів в довільному базисі відповідає добуток матриць операторів в цьому базисі.

Лінійні оператори, для яких A B =B A називаються переставними. 1.20. Поняття оберненого оператора.

Нехай A – лінійний оператор на векторному просторі V . Якщо для цього оператора існує лінійний оператор B :V V , такий що AB = BA =E, то оператор B називається оберненим для A і позначається B = A 1 .

Квадратна матриця A називається не виродженою, якщо det A 0 .

Теорема (про обернений оператор).

Для лінійного оператора на скінченновимірному просторі існує обернений оператор тоді і тільки тоді, коли в деякому базисі оператору відповідає невироджена матриця.

Якщо для даного оператора існує обернений, то він єдиний.

Якщо для оператора A існує обернений, і в даному базису оператору A відповідає матриця A , то в цьому базисі оператору A 1 відповідає матриця A 1 .

1.21. Еквівалентні умови існування оберненого оператора.

Нехай A – лінійний оператор на скінченновимірному просторі V , тоді наступні умови еквівалентні:

1.Для A існує обернений оператор.

2.У довільному базисі оператору A відповідає невироджена матриця.

3.Оператор A будь-яку лінійно незалежну систему векторів відображає в лінійно незалежну систему.

4.Оператор A будь-який базис простору відображає в базис простору.

5.Ker A { }.

6.ImA V .

1.22. Зв’язок матриць лінійного оператора у різних базисах.

Теорема.

Нехай A – лінійний оператор на скінченновимірному просторі V , якому в базисі B1 {a1 , a2 , , an } відповідає матриця A , а в базисі

14

Теорема.

Характеристичні многочлени подібних матриць співпадають.

Характеристичний многочлен оператора A на скінченновимірному просторі A (t) – це характеристичний многочлен його матриці в деякому базисі.

1.24. Власні числа та власні вектори лінійного оператора.

Нехай A – лінійний оператор на векторному просторі V над полем F , вектор a V (a ) називається власним вектором оператора A, якщо

A (a) a для F , при цьому відповідний скаляр називається власним

числом або власним значенням оператора A . В цьому випадку вектор a називається -власним вектором, або власним вектором, що відповідає власному числу .

Підпростір L {x V |A (x) x} називається власним підпростором, що відповідає власному числу .

Теореми про власні вектори і числа.

15

Теорема 1. Нехай A – лінійний оператор на скінченновимірному

над полем F . Підпростір L розмірності 1 є підпростором, інваріантним відносно оператора A тоді і тільки тоді, коли базисний вектор з простору є власним вектором оператора.

Теорема 4. Для будь-якого лінійного оператора у скінченновимірному просторі над полем комплексних чисел існує інваріантний підпростір розмірності 1.

16

2. ПРИКЛАДИ ЗАДАЧ ТА ЇХ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ.

базис і знайти координати вектора x (6,9,14) в цьому базисі (афінні координати вектора x ).

Розв’язування.

Вектори утворюють базис тоді і тільки тоді, коли вони лінійно незалежні. Складемо з векторів e1 , e2 , e3 матрицю, записавши вектори в

рядочки. Вектори системи будуть лінійно незалежні, якщо ранг матриці співпадає з кількістю векторів в системі.

знайдемо координати вектора x в цьому базисі.

Розкладемо вектор x за базисом e1 , e2 , e3 , тобто запишемо вектор x у вигляді лінійної комбінації векторів e1 , e2 , e3 :

x 1e1 2 e2 3e3 , тобто

Перепишемо рівняння в матричному вигляді та за допомогою елементарних перетворень отримаємо зліва одиничну матрицю. Вектор, що з’явиться з

19

2.Довести, що кожна з двох систем векторів є базисом, та знайти зв’язок

координат одного і того ж вектора в цих двох базисах: e1 (1, 2, 1), e2 (2, 3, 3), e3 (3, 7, 1) ;

e'1 (3, 1, 4), e'2 (5, 2, 1), e'3 (1, 1, 6) .

Розв’язування.

Система векторів є базисом, якщо вона лінійно незалежна і кількість векторів в базисі дорівнює розмірності простору. Складемо з координат векторів кожної системи матрицю і покажемо незалежність за допомогою елементарних перетворень.

Для першої системи маємо:

Отже лінійну незалежність доведено.

зв’язок координат одного і того ж вектора в цих двох базисах, необхідно спочатку знайти матрицю переходу T від базису B1 до базису B2 . Для цього

складемо із векторів систем B1 і B2 розширену матрицю, записавши вектори

у стовпчики, і далі використаємо метод елементарних перетворень. Наша мета – з правої частини отримати одиничну матрицю, а з лівої і буде матриця переходу T .

20