zolotyh_n_yu_lekcii_po_algebre

Легко проверить полноту системы. Для доказательства ее линейной независимости рассмотрим нулевую линейную комбинацию:

Очевидно, что c V2 и тогда по (4.5) имеем c V1. Следовательно, c V1 V2 и поэтому найдутся такие Æ1, , Æk, что

Из (4.6, 4.7) получаем два разложения вектора c по базису пространства V2:

c0a1 0ak 1c1 mcm,

cÆ1a1 Ækak 0c1 0cm.

Так как разложение по базису единственно, то все коэффициенты в этих разложениях нулевые, поэтому c 0 и, следовательно, нулевая линейная комбинация (4.5) — тривиальная.

Понятие суммы и пересечения подпространств распространяется на произвольное конечное их число. А именно, под суммой V1 V2 Vs подпространств V1, V2, , Vs понимается

V1 V2 Vs {a1 a2 as : ai Vi (i 1, 2, , s)} . Под пересечением V1 V2 Vs понимается

V1 V2 Vs {a : a Vi (i 1, 2, , s)} .

Легко проверить справедливость утверждений 4.55 и 4.56 для таких сумм и пересечений соответственно.

4.12.Прямая сумма подпространств

Сумма подпространств V1 Vs называется прямой, если для произвольного вектора x V1 Vs векторы x1, , xs, такие, что

Необходимость. Легко видеть, что A — полная система. Докажем ее линейную независимость. Пусть

Проинтерпретируем приведенное равенство как разложение o по подпространствам Vi . Так как сумма подпространств прямая, то данное разложение единственно, и поэтому

Векторы в каждой из приведенных линейных комбинаций образуют базис, поэтому все коэффициенты равны нулю. Итак, линейная комбинация (4.9) тривиальная.

Достаточность. Для доказательства достаточности воспользуемся леммой. Для этого покажем, что если система A линейно независима, то разложение o по подпространствам Vi определяется единственным образом. Действительно, в противном случае найдутся такие векторы ai, что

o a1 as ,

где ai Vi (i 1, , s) и ai 0 для некоторого i . Каждый вектор ai разложим по базису ai1, , aini :

В приведенной линейной комбинации найдутся ненулевые коэффициенты (среди чисел i 1, , i ni ), поэтому система A — линейно зависима, что противоречит условию.

Следствие 4.61. Сумма V1 V2 прямая тогда и только тогда, когда V1 V2 .

Доказательство. Утверждение следует из доказанного критерия и теоремы о размерности суммы подпространств.

Пусть линейное пространство V раскладывается в прямую сумму

.

подпространств: V V1 V2. Тогда для произвольного x V определяются единственным образом векторы y V1, z V2, такие, что x y z. Вектор y называется проекцией вектора x на подпространство V1 параллельно V2.

4.13.Изменение координат вектора при замене базиса

Пусть e1, , en и e1, , en — два базиса пространства V . Каждый вектор второго базиса, который также будем называть «новым», разложим по первому базису, называемому также «старым»:

(4.10) Найдем связь координат произвольного вектора x в этих базисах. Пусть

x!i "

Так как координаты вектора в любом фиксированном базисе определяются единственным образом, то

n

xi ijxj (i 1, 2, , n)

j 1

(формула, связывающая координаты одного и того же вектора в разных базисах).

4.14.Системы координат

В этом разделе векторы любых линейных пространств иногда будут называться точками. Такое изменение в названии аппелирует к геометрическим представлениям: как уже отмечалось, вектор пространства V3, закрепленный в полюсе, можно ассоциировать с точкой, являющейся его концом.

Системой координат линейного пространства V назовем совокупность точки O из V и базиса e1, e2, , en этого пространства. Координатами точки A V в этой системе координат назовем координаты вектора A O в базисе e1, e2, , en, т. е. [A]O,e [A O]e. Исследуем как меняются координаты точки при изменении системы координат.

Пусть «старая» система координат O, e1, , en заменена на «новую» O , e1, , en, причем справедливы формулы (4.10) и

Так как координаты вектора в любом фиксированном базисе определяются единственным образом, то

n

xi i ijxj (i 1, 2, , n)

j 1

(формула, связывающая координаты одной и той же точки в разных системах координат).

4.15.Линейное многообразие

Рассмотрим линейное пространство V над полем F. Пусть a0 — произвольный вектор, L — подпространство в V . Под записью a0 L будем понимать множество всевозможных векторов вида a0 x, где x

— произвольный вектор из L. Множество a0 L называется линейным многообразием, порожденным вектором a0 и подпространством V . Подпространство V называется также несущим подпространством для многообразия a0 L.

Утверждение 4.62. Следующие три утверждения эквивалентны:

1.a0 L b0 L,

2.b0 a0 L,

3.b0 a0 L.

Доказательство. Импликации 1 2, 2 3 очевидны. Докажем импликацию 3 1 Пусть b0 a0 L, тогда b0 a0 l для некоторого l L. Рассмотрим произвольный вектор a a0 x из a0 L, x L. Имеем a b0 (x l), поэтому a b0 L, откуда a0 L b0 L. Аналогично можно показать, что b0 L a0 L.

Замечание 4.63. Импликация 2 1 означает, что многообразие порождается любым своим представителем. Эквивалентность 1 3 дает критерий совпадения двух линейных многообразий с одинаковым несущим подпространством.

Утверждение 4.64. Пусть a0, b0 — векторы, L, L — подпространства. Тогда, если a0 L b0 L , то L L . Таким образом, несущее подпространство линейного многообразия определяется единственным образом.

Доказательство. Из предыдущего утверждения следует, что, если a0

L b0 L , то a0 L a0 L , поэтому для любого x из L найдется такой y из L , что a0 x a0 y, откуда x y, т. е. x L , а, следовательно, L L . Аналогично можно показать, что L L.

Из доказанного утверждения следует корректность следующего определения. Размерностью линейного многообразия a0 L называется размерность его несущего подпространства L: dim(a0 L) dim L.

Линейное многообразие размерности 1 называется прямой, размерности 2 — плоскостью4, размерности n 1 — гиперплоскостью.

4Иногда плоскостью называют линейное многообразие произвольной размерности

— легко видеть, что какие бы значения не принимали свободные неизвестные x3, x5 всегда найдутся значения связанных неизвестных, при которых все уравнения системы (5.2), и, следоветельно, системы (5.4), превращаются в верные равенства. С другой стороны, любое решение исходной системы (5.2) удовлетворяет также и системе (5.5). Таким образом, общее решение системы (5.2) можно записать в виде:

где t1, t2 — произвольные числа1. Решение (5.6) можно записать в «столбцовой» форме:

Следующие преобразования строк матрицы будем называть элементарными преобразованими:

1)перестановка (транспозиция) i-й и j-й строк (i j),

2)домножение i-й строки на число F ( 0),

3)прибавление к i-й строке j-й строки, умноженной на .

Лемма 5.2. Элементарные преобразования строк расширенной матрицы системы линейных уравнений не меняют множества решений.

Доказательство. Докажем, что преобразование 3-го типа не меняет множества решений. Запишем систему, получающуюся из (5.1) преобразованием 3-го типа: Система, полученная из (5.1) преобразованием 3-го типа, будет отличаться от (5.1) только i-м уравнением, которое примет вид:

(ai1 aj1)x1 (ai2 aj2)x2 (ai1 aj1)xn bi bj. (5.7)

Пусть x (x1, , xn) — частное решение системы (5.1). Оно удовлетворяет всем уравнениям системы (5.1) и, следовательно, всем уравнениям новой системы, в том числе уравнению (5.7). Последнее справедливо, так как тождество

(ai1 aj1)x1 (ai2 aj2)x2 (ai1 aj1)xn bi bj. (5.8)

1Форма записи ответа, в общем случае не единственна