zolotyh_n_yu_lekcii_po_algebre

12.2. Связь подобия числовых матриц с эквивалентностью -матриц233

12.2.Связь подобия числовых матриц с эквивалентностью -матриц

В данном разделе рассматриваются только -матрицы, т. е. элементы кольца F[ ]m n, где F — поле.

Заметим, что кольцо F[ ]m n многочленных матриц ( -матриц), изоморфно кольцу Fm n [ ] матричных многочленов, т. е. многочленов, коэффициентами которых являются матрицы из Fm n. Естественный изоморфизм задается простым правилом, которое мы покажем на примере.

Пример 12.12. Многочленной матрице

Естественный изоморфизм из F[ ]m n в Fm n [ ] позволяет нам отождествлять -матрицы и соответствующие ей матричные многочлены.

Пусть A — матрица из Fn n, тогда A E называется ее характеристической матрицей.

Теорема 12.13. Пусть A, B — матрицы из Fn n. Для того, чтобы A и B были подобны необходимо и достаточно, чтобы их характеристические матрицы A E и B E были эквивалентны.

Более того, если B E P(A E)Q, где P, Q — унимодулярные -матрицы, то B LAR и L R 1, где L — остаток от деления P на B E слева, а R — остаток от деления Q на B E справа. Таким образом, R — трансформирующая матрица.

Таким образом, все инвариантные множители характеристической матрицы жордановой клетки равны 1, кроме последнего, равного (

Утверждение 12.15. Если многочлены f1 ( ), f2 ( ), , fn ( ) из F[ ] попарно взаимно просты, то

Утверждение 12.16. Пусть J diag(Jk1 ( 1), Jk2 ( 2), , Jks ( s)), тогда

Матрица из предыдущего утверждения хотя и диагональна, но в общем случае не является нормальной диагональной.

Рассмотрим теперь матрицу J E diag(J1 E, J2 E, , Js E), где J1, , Js — жордановы клетки. Пусть 1, , s — все собственные значения матрицы J, причем i j при i j. Пусть к собственному числу i относится qi жордановых клеток и пусть порядки этих клеток, расположенные в неубывающем порядке, суть ki1 ki2

В этом случае жорданова матрица составлена из жордановых клеток, которые по элементарным делителям можно найти следующим образом. Каждому элементарному делителю ( i)tj соответствует клетка tj -го порядка с j на диагонали. Жорданова форма определяется единственным с точностью до перестановки жордановых клеток образом.

Следствие 12.20. Любая матрица над алгебраически замкнутым полем (в частности, над полем комплексных чисел) подобна жордановой.

Пример 12.21. Найдем жорданову форму и соответствующую трансформирующую матрицу для матрицы

Составляем матрицу A E и приписываем к ней снизу единичную:

С помощью преобразований строк и столбцов матрицу A E приведем к нормальной диагональной форме. Все преобразованиями со столбцами будем проделывать так же с матрицей, стоящей снизу. Умножим второй столбец на 1. Далее вычтем этот столбец, умноженный на 6 , из третьего столбца:

Прибавляем третью строку, умноженную на 17, к первой. Вычитаем третью строку, умноженную на 2, из второй. В результате получим:

12.2. Связь подобия числовых матриц с эквивалентностью -матриц237

Переставляя строки и столбцы надлежащим образом, получим:

Вычитаем из третьего столбца второй, умноженный на 17:

Чтобы найти трансформирующую матрицу Q (т. е. матрицу, для которой J Q 1AQ) элементарными преобразованиями приведем J E к нормальной диагональной форме. Составляем матрицу

00 1

Вычитаем из второго столбца третий, умноженный на 2 :

Преставляя строки и столбцы надлежащим образом, получаем:

Матрица Q и есть искомая трансформирующая матрица и J Q 1AQ.

Матрицей естественной формы, или матрицей, имеющей нормальную естественную форму, называется клеточно-диагональная матрица B diag(B1, B2, , Bs) Fn n, где B1, , Bs являются. матрицами, сопровождающими многочлены f1 ( ), , fs ( ) соответственно, причем fi ( ) .. fi 1 ( ) (i 2, 3, , s).

Утверждение 12.22. Первые n s инвариантных множителя матрицы естественной формы являются 1. Остальные инвариантные множители равны f1 ( ), , fs ( ).

Теорема 12.23. Любая матрица A из Fn n подобна над F единственной матрице

B естественной формы, называемой нормальной естественной формой матрицы A, причем B diag(B1, B2, , Bs) Fn n, где B1, , Bs — матрицы, сопровождающие инвариантные множители f1 ( ), , fs ( ) матрицы. Две матрицы из Fn n подобны над F тогда и только тогда, когда их естественные формы совпадают.