Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1331 вуз, 5513 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Нижегородский Государственный Технический Университет им. Р.Е. Алексеева
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
Полная версия Матиматика в вопросах и ответах.pdf
Скачиваний:
75
Добавлен:
11.03.2016
Размер:
899 Кб
Скачать
☆
►Содержание►

ГЛАВА 11 ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

11.1. Основные понятия и определения

Производной f (x) функции f (x) называется предел отношения при-

ращения функции y f (x x) f (x)

к соответствующему прираще-

нию аргумента x , при стремлении x 0 .

Обозначается f (x) или

dy

.

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

f (x) lim

y

.

(1)

 

 

 

 

 

x 0 x

 

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

11.1.1. Основные правила дифференцирования

Обозначим f (x) u , g(x) v дифференцируемые функции.

1)(u v) u v ;

2)(u v) u v uv ;

 

u

 

 

 

u v v u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

 

, если v 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.1.2. Производные основных элементарных функций

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1)

(c) 0 , (c const );

 

9) arcsin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, (| x | 1);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2)

(x

 

) x

 

 

 

, ( R );

10) arccos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, (| x | 1);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

a

 

 

a

 

 

ln a ,( a 0, a 1);

 

11) arctgx

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

1 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

4)

loga

x

 

 

 

 

 

 

 

, ( x 0, a 0

, a 1)

12) arcctg x

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x ln a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x2

 

 

5)

 

 

 

 

 

cos x ;

 

 

 

 

 

 

13) (sh x) ch x ;

 

 

 

 

 

 

 

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6)

 

 

 

 

 

sin x ;

 

14) (ch x) sh x ;

 

 

 

 

 

 

 

cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7)

t g x

 

 

 

 

, ( x

 

n );

 

15) th x

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

cos2 x

 

2

 

ch2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

8)

ctg x

 

 

 

 

, ( x n);

 

16) cth x

 

 

.

 

 

 

sin2

x

 

sh2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

90

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.1.3. Производная сложной функции

Пусть y f (u) , u g(x) , причем область значений функции u – область определения функции y .

Тогда

y

f (u)u .

 

 

 

 

(2)

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

(x 2)

2

 

 

Пример 1. Найти производную функции y e x arccos

3

.

x

tg2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Используя правило дифференцирования (см. формулу (1) в основных правилах дифференцирования), получим

 

2

 

 

'

 

 

 

 

'

 

1

 

 

(x 2)2

 

 

 

 

y' ex

arccos

 

 

 

3

 

 

 

.

x

tg2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В первом слагаемом алгебраической суммы, применим правило дифференцирования (см. формулу (2) в основных правилах дифференцирования), а во втором слагаемом представим корень в виде степени, придем к следующему равенству

 

2

'

 

1

2

 

 

1 '

x 2

 

2

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

y' ex

 

arccos

 

ex

 

arccos

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

x

 

tg x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем производные, используя правило дифференцирования сложной функции (2), и сделаем несложные алгебраические преобразования, получим

 

2

2

'

1

 

2

y' ex

ex

 

 

 

arccos

 

 

x

 

 

x

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1 '

 

2

x 2

 

1

 

x 2

'

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

3

 

t g x

 

 

 

 

tg x

 

 

1

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2ex

2

2ex

2

2ex

2

2ex

1

 

 

1

2

arccos

e

x

x2

x

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

2

 

arccos

e

x

 

x2

x

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

2

 

arccos

e

x

 

x2

x

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

2

 

arccos

 

e

x

 

x2

 

 

 

x

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

1

 

 

2

 

tg x

1

 

(x 2)'tg x (x 2)(tg x)'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

3

 

tg2

 

 

x2

 

 

 

1

 

 

 

x 2

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

tg x (x 2)

 

 

1

 

 

 

 

 

x

 

 

 

2

 

tg x 3

cos

2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

tg2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

2

 

tg x

 

 

1

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

1

 

3

 

 

 

 

 

 

 

sin

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

tg x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

2

 

tg x

 

1

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

1

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

tg x

 

 

 

x

 

 

 

 

91

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности