2) Необходимый признак экстремума

Теорема:

Если функция имеет в точке экстремум, то производная в этой точке либо равна нулю либо не существует

Доказательство:

Пусть существует , если в точке- максимум, то для достаточно малой окрестностиимеет наибольшее значение в этой окрестности, по теореме Ферма

Согласно теореме точки экстремума могут быть лишь в тех внутренних точках, где производная не существует или равна нулю. Такие точки называются подозрительными на экстремум. Точки в которых производная равна нулю называются стационарными.

Не во всякой подозрительной на экстремум точке есть экстремум.

3) Достаточные признаки эктремума

Теорема 1 (первый достаточный признак экстремума):

Пусть - внутренняя точка обл определенияинепрерывна в, тогда:

1. Если при переходе через ,меняет знак с плюса на минус (т.е.), то в- строгий максимум;

2. Если при переходе через ,меняет знак с минуса на плюс, то в- строгий минимум;

3. Если при переходе через ,не меняет знак, то экстремума внет, т.е. функция вмонотонна.

Требование непрерывности в упускать нельзя, т.к. в этом случае утверждение может оказаться несправедливым.

При разыскивании экстремумов, исследование знака производной вблизи исследуемой точки можно заменить исследованием знака второй производной вблизи самой этой точки.

(27)Экстремумы функции: достаточные признаки.

Теорема 1 (первый достаточный признак экстремума):

Пусть - внутренняя точка обл определенияинепрерывна в, тогда:

1. Если при переходе через ,меняет знак с плюса на минус (т.е.), то в- строгий максимум;

2. Если при переходе через ,меняет знак с минуса на плюс, то в- строгий минимум;

3. Если при переходе через ,не меняет знак, то экстремума внет, т.е. функция вмонотонна.

Требование непрерывности в упускать нельзя, т.к. в этом случае утверждение может оказаться несправедливым.

При разыскивании экстремумов, исследование знака производной вблизи исследуемой точки можно заменить исследованием знака второй производной вблизи самой этой точки.

Теорема 2 (второй достаточный признак экстремума):

Если - внутренняя точка обл определения, производная, тогда при- строгий минимум, а- строгий максимум точку

Доказательство:

Пусть , т.к.строго возрастает ви т.к., то при переходефункцияменяет знак с минуса на плюс, а это согласно теореме 1 означает, что в точке- минимум.

Теорема 3 (третий достаточный признак экстремума):

Пусть - внутренняя точка обл определения,, аи конечна, тогда:

1. Если n – нечет, то экстремума в точке нет: функция строго возрастает, еслии строго убывает если;

2. Если n – чет, то в точке есть экстремум: строгий максимум, еслии строгий минимум, если

Доказательство:

Применим для функции формулу Тейлора доn-2 порядка с остаточным членом в форме Лагранжа: согласно условию 1 остается только

Рассмотрим случаи:

а) n – нечет, тогда возрастает, т.е.поэтому прии следовательно

- чет строго возрастает в

б) n – чет, - нечет. Пустьприа прии учитывая, что- минимум. В случае- строгий максимум

Из трех признаков - первый самый сильный, в том смысле что когда второй и третий дают ответ, он тоже дает ответ, в то время, когда есть случаи когда первый признак применим а второй и третий нет.

Пример:

а)

Экстремум есть в точку =

минимум

б) при

в точке длясущ все производные причем все они равны нулю

(28)Направление вогнутости графика функции: достаточные признаки направления вогнутости.

1) Рассмотрим функцию y=f(x). Пусть- внутренняя точка области определения, и существует конечная, тогда существует касательная в точкеи уравнение касательной имеет вид:

Определение1: Если точки графика прилежат в верхней (нижней) относительно касательной, полуплоскости, то говорят, что график внаправлен вогнутостью вверх (вниз). Если же с одной стороны отточки графика лежат в верхней полуплоскости, а с другой стороны в нижней, то в точкеграфик имеет перегиб.

Определение 2: Введем вспомогательную функцию В точкеr(x)=0. В остальных разность между точкой графика и касательной, если r(x)>0 то вогнутость вверх.

Определение 1': График функции в направлен вогнутостью вверх, еслиr(x) имеет в точке минимум, и вогнутостью вниз, если вмаксимум, и в точкебудет перегиб, еслиr(x) монотонно возрастает (убывает).

2) Признаки направления вогнутости и точек перегиба графика функции.

Теорема1: (первый достаточный признак направления вогнутости)

Если: 1) строго возрастает в, то ввогнутость строго вверх

2) строго убывает в, то ввогнутость строго вниз .

Док-во: По условию, случай 1 при переходе черезменяет знак с минуса на плюс, а в самой r(x) в имеет минимум => (по определению) означает вогнутость строго вверх.

Теорема2: (второй достаточный признак направления вогнутости)

Если , то ввогнутость строго вверх, если- строго вниз.

Док-во: Пусть строго возрастает в, по теореме1.

Теорема3: (третий достаточный признак)

Если , аи конечна, то приn- нечетном, в точке строгий перегиб, а приn- четном график направлен вогнутостью строго вверх, при , вниз при.

Док-во: ,,и конечна, тогда согласно теореме (о 3ем дост признаке экстремума) имеем, что приn- нечетном, получаем что r(n)- монотонна, т.е. встрогий перегиб, приn- четном, r(x) имеет экстремум: вминимум, т.е. вогнутость вверх, если, максимум => вогнутость вниз.

(29)Точки перегиба графика функции: необходимый и достаточные признаки.

Теорема4: (необходимый признак точки перегиба)

Если в график имеет перегиб, тоили.

Док-во: Возможны 2 случая, либо либо, в последнем случае, т.к. по второму достаточному признаку вграфик направлен либо вогнутостью вверх, либо вниз, а это противоречит тому, что вперегиб.

Теорема5: (достаточный признак точки перегиба)

Если непрерывна в, а вменяет знак при переходе через, то вграфик имеет перегиб.

Док-во: По первому признаку экстремума вимеет строгий экстремум =>сохраняет один и тот же знак с обеих сторон от,;по первому признаку экстремумастрого монотонна в(т.к. не меняет знак) и по определениювперегиб.