4. Теорема умножения для математического ожидания.

Определение. 1. Случайные величины называютсянезависимыми, если для любых промежутков

независимы в совокупности события

, ,…,.

2. Случайные величины , образующие бесконечную последовательность, называютсянезависимыми, если для любого натурального любыеслучайных величин этой последовательности независимы.

Замечание. В частности, если инезависимы, то для любых чисели:

.

Теорема. Пусть случайные величины и независимы и имеют математические ожидания и. Тогда

.

Доказательство. Ограничимся случаем конечного множества значений. Пусть законы распределения для иимеют вид:

;

.

Случайная величина принимаетзначений вида, где. Ограничимся для простоты случаем, когда все эти произведения различны. Обозначим черезвероятности этих значений. Тогда, поскольку вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей,

.

Далее,

.

Производя в двойной сумме группировку слагаемых и вынося за знак внутренней суммы общий множитель , получаем:

. ▄

1.7. Дисперсия дискретной случайной величины

Рассмотрим следующий пример. Пусть случайные величины иимеют следующие законы распределения:

Нетрудно проверить, что они имеют равные математические ожидания: . В то же время рассеивание значений вокруг математического ожидания уявно больше, чем у. Это рассеивание выражается отклонениями реализованных значений от математического ожидания, то есть разностямии, соответственно.

Определение. Пусть у случайной величины существует математическое ожидание. Случайная величинасо значенияминазываетсяотклонением (от математического ожидания).

Если при большом числе реализаций случайной величины просуммировать полученные отклонения, то их значения разных знаков в значительной степени погашают друг друга, и такая сумма не может служить мерой рассеивания значений случайной величины вокруг математического ожидания. Для того чтобы избежать подобного взаимного погашения, отклонения перед суммированием возводят в квадрат.

Определение. Пусть у случайной величины существует математическое ожидание. Еедисперсией называется число

, (4)

то есть математическое ожидание квадрата отклонения.

Статистический смысл дисперсии:

Дисперсия служит мерой рассеивания значений случайной величины вокруг математического ожидания.

Общее определение дисперсии принимает применительно к дискретной случайной величине следующий вид:

1) Если является дискретной случайной величиной сконечным множеством значений и законом распределения

,

то отклонение имеет закон распределения

,

и, в соответствии с определением математического ожидания:

. (5)

2) Если является дискретной случайной величиной сбесконечным множеством значений и законом распределения

,

то

. (6)

Если ряд в правой части (6) расходится, то считают, что дисперсия не существует.

Замечание. Если у случайной величины не существует математического ожидания, то понятие дисперсии для нее не вводится.

Пример. 1. Пусть закон распределения имеет вид:

Вычисление дисперсии предполагает предварительное вычисление математического ожидания:

.

Далее, .

2. Для приведенных в начале этого параграфа законов распределения получаем:

;

;

.

Среднее квадратическое отклонение. В случае, когда случайная величина имеет размерность (метры, килограммы и т. п.), размерность дисперсииравна квадрату размерности. Поэтому наряду с дисперсией в качестве меры рассеивания значений случайной величины вокруг математического ожидания применяют также арифметический квадратный корень из дисперсии. Последний уже имеет размерность, совпадающую с размерностью.

Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины , называется число

.