6. Линейное уравнение первого порядка

Определение. Линейным уравнением первого порядка называется уравнение вида: с непрерывными функциямии.

Будем искать общее решение методом И.Бернулли в виде произведения двух новых неизвестных функций: , что дает определенную свободу в выборе одного из множителей, позволяя придать ему необходимый для дальнейшего вид. Тогда. Подставляя эти выражения в исходное уравнение, получим:

.

Группируя слагаемые с , получаем:.

Потребуем от функции , чтобы множитель в квадратных скобках притождественно обращался в нуль:

(10)

Уравнение (10) является уравнением с разделяющимися переменными. Найдем его частное решение (без произвольной постоянной):

(10) .

Интегрируем обе части:

; ;;

выбираем в качестве частного решения функцию (здесь символом неопределенного интеграла обозначена какая-либо первообразная функции) .

Теперь подстановка найденной функции в (10) дает уравнение с разделяющимися переменными относительно:

.

В итоге получаем общее решение:

;

. (11)

Хотя при решении линейного уравнения можно сразу выписывать общий интеграл по формуле (11), представляется полезным проследить на примере всю цепочку выкладок, приводящих к (11).

Пример. Рассмотрим линейное уравнение:

на интервале с начальными условиями .

Здесь . Полагаем:

.

Подставляем в уравнение выражения для и:

.

. (12)

Накладываем на условие:тогда

, и можно выбрать .Подставляем в (12) и учитываем, что, в соответствии с выбором функции, выражение в квадратных скобках тождественно равно нулю:

.

Функция

является общим решением.

Найдем частное решение задачи Коши. Подставим для этого начальные условия в общее решение и найдем соответствующее значение константы :

Подставив найденное значение в общее решение, получаем решение задачи Коши:

.

7. Уравнения, допускающие понижение порядка

7.1. Уравнение вида

Решение уравнения означает отыскание функции по ее производной -го порядка.

При каждом интегрировании производной ее порядок на

единицу понижается: .

Интегрируя последовательно раз, получаем (при каждом интегрировании добавляется очередная произвольная постоянная):

;

;

…

.

Таким образом, найденная функция , в соответствии с определением общего решения, зависит отпроизвольных постоянных.

Пример. Для уравнения третьего порядка найдем общее решение, а затем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям.

Последовательные интегрирования дают:

;

;

—общее решение.

Подставляя начальные условия в полученные выражения для , получаем систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

Отсюда: , так что решение задачи Коши имеет вид:.

7.2. Уравнение, не содержащее явно неизвестную функцию y

Рассмотрим уравнение второго порядка вида , не содержащее явно искомую функцию.

Введем новую неизвестную функцию . Тогда, и уравнение принимает вид:. Это уравнение первого порядка. Если найдено его общее решение, то возвращаясь к исходной неизвестной функции, получаем, так чтонаходится интегрированием:

.

Аналогичным образом можно понизить на единицу порядок не содержащего явно уравнения.

Пример. . Полагая, приходим к уравнению с разделяющимися переменными относительно новой неизвестной функции:

Ограничимся случаем ,, что означает строгое возрастание искомой функции(так как). Тогда

,

или

.

Наконец, интегрируя по частям, получаем общее решение:

.