МАТЕМАТИКА 1 СЕМЕСТР АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Решение. 1). Вычислим первую производную: f x

. Она равна нулю

при x 0 и не существует (обращается в бесконечность)

при x 1 . Знаменатель

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.03.2016

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

2). В обратную сторону, пусть f x 0 на интервале a,b . Применим тео-


рему Лагранжа к функции f x		на произвольном отрезке x1, x2		из a,b :
	f x 2 f x1 f c x 2 x1 ,		c x1, x2 .	f x1 f x 2
Так как f c 0,	x2 x1 0 , то	f x2 f x1 0 . Таким образом,

для произвольных точек x1, x2 из a,b таких, что x1 x2 ; значит функция f x возрастает на a,b .

8.2. Экстремумы функции

Пусть функция f x непрерывна на интервале a,b , содержащем точку x0 .

1). Точка x0 называется точкой максимума

функции

f x ,

если

f x0 f x

для всех x

из некоторой выколотой окрестности точки x0 .

2). Точка x0

называется точкой минимума функции f x , если f x0 f x для

всех x из некоторой выколотой окрестности точки x0 .

3). Точки максимума и минимума функции называют

точками экстремума функции.

Так как f x f x0 f x0 , то в окрестности точки x0

f x0 0 , если x0

точка максимума;

f x0 0 , если x0

точка минимума.

Рис.21

На рис. 21 точка максимума x1 , точка минимума x2 .

Для отыскания точек экстремума выведем необходимое условие экстрему-

ма и достаточные условия.

Теорема 8.2 (необходимое условие экстремума).

Пусть функция f x имеет экстремум в точке x0 .

Тогда производная f x в

точке x0 равна нулю или не существует.

Доказательство от противного. Пусть производная

f x в точке x0

существует

и не равна нулю, например,

f x0 0 . Тогда

lim

f x0

f x0 0

и из свойст-

f x0

x 0

ва пределов следует, что

0 в некоторой окрестности точки x . Поэтому

f x0 0 , если x 0 и f x0 0 , если x 0 . Так как f x0

меняет знак в ок-

рестности точки x0 , то экстремума в точке x0

функция не имеет, что противоре-

чит условию теоремы.

Сделаем ряд замечаний.

1) . Точки экстремума, в которых f x 0 , назовем точками гладкого экстремума. В таких точках касательная к графику функции параллельна оси ox (рис.21).

2) . Точки экстремума, в которых f x не существует, назовем точками ост-

рого экстремума. В таких точках касательная к графику функции перпендикулярна оси ox (рис.16) или не существует (рис.18) .

3) . Необходимый признак экстремума не является достаточным,

то есть из то-

го, что f x0 равна нулю или не существует, не следует,

что f x

имеет экстре-

мум в точке x . Например, для функции

y x3 ее производная

y 3x2 равна нулю при x 0 , но

x 0

не является точкой экс-

y x3

тремума функции (рис. 22).

4) . Точки, в которых производная функции равна нулю или не

существует, называют критическими точками функции.

Для исследования критической точки на экстремум ис-

Рис.22

пользуют первое или второе достаточное условие экстремума.

Теорема 8.3 (первое достаточное условие экстремума).

Пусть функция f x

непрерывна в окрестности критической точки x0 и диффе-

ренцируема в выколотой окрестности точки x0 .

Если производная f x

при пе-

реходе (слева направо) через точку x0

меняет знак с плюса на минус, то x0 есть

точка максимума; если с минуса на плюс, то x0 точка минимума.

Доказательство. Пусть f x

при переходе через точку x0 меняет знак с плюса

на минус,

то есть

f x 0

на интервале

x0 , x0

f x 0

на интервале

x0 , x0 .

Тогда в силу теоремы 8.1 функция

f x

возрастает на интервале

x0 , x0

и убывает на интервале x0 ,

x0 . Это и означает, что x0 точка мак-

симума функции.

Пример 8.1. Исследовать на монотонность и экстремум функцию

y 3 3

2x ;

построить ее график.

Решение. Найдем производную y

. Производная не сущест-

2 3

3 x

x 2

вует при x 0 и равна нулю при x 1 . Эти точки и есть критические точки функции. Они разбивают область определения функции − интервал , на три

интервала ;0 , 0; 1 , 1; . Исследуем знаки производной на этих интервалах, результаты оформим в виде таблицы.

0;1

min

max

Так как

при x 0 , то в этой точке касательная перпендикулярна оси ox и

экстремум – острый. Так как

y 0

при x 1 , то в этой точке касательная парал-

лельна

оси ox

и экстремум

– гладкий.

При построении графика функции

(рис.23) учтем еще, что		3		и, значит
	y x		2		y	o	1	x

		3 x

при x ; y при x .

Рис.23

Теорема 8.4 (второе достаточное условие экстремума).

Пусть

f x0

0 и существует

f x в точке x0 .

Если f x0 0 ,

то

точка максимума для функции

f x .

Если f x0 0 ,

то

точка минимума для функции

f x .

Доказательство. По формуле Тейлора второго порядка

f x

f x0

f x

x x0

f x

x x0

o x x0

Учитывая условия теоремы, получим:

f x0

x x0 2 o x x0 2 .

f x0 f x f x0

Так как x x0 2

0 , то знак f x0 совпадает со знаком

f x0 , а именно:

если f x0 0 , то f x0 0 , значит,

точка максимума,

если f x0 0 , то f x0 0 , значит,

точка минимума.

Пример 8.2. Исследовать на экстремум функцию y sin x cos x для x 0; 2 .

Решение. Найдем производную:

y cos x sin x .

Она всюду существует, а равна

нулю, если

cos x sin x . Поэтому на отрезке 0; 2

получим две критические точ-

ки

. Исследовать эти точки на экстремум проще не по знаку пер-

вой

производной

окрестности точек, а

по

знаку

второй производной

y sin x cos x

в самих точках. Так как

0 ,

то точка x1

есть точка максимума, а точка x

есть точка минимума данной функции.

Примеры для самостоятельного решения

1. Найти промежутки монотонности функции f (x)

x3 .

Ответ: функция возрастает на ( ; 1)

и (1; ) ,

функция убывает на ( 1;1) .

2. Найти экстремумы функций а) f (x) x3

6 x2

9 x 4 ,

б)

f (x) cos x

cos 2x .

Ответ: а) при x 1 – максимум, при x 3 – минимум ;

б) при x n – максимум, при x 2 / 3 2 n – минимум .

3. Найти наибольшее M и наименьшее m значения функции f (x) x3

3x 3 на

отрезке 2;3 .

Ответ:

M f (3) 21 ,

m f (1) f ( 2)

1 .

8.3. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

На практике часто встречаются задачи, в которых требуется найти наибольшее или наименьшее значение функции на отрезке. Напомним, что функция, непрерывная на отрезке, принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения. Эти значения она принимает либо в критических точках внутри отрезка, либо на концах отрезка. Поэтому для отыскания наибольшего и наименьшего значения непрерывной на отрезке a, b функции f x следует:

1)найти критические точки функции на интервале a,b ,

2)вычислить значения функции в этих критических точках (не исследуя их) и на концах отрезка,

3)из всех полученных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример	8.3.	Найти	наибольшее	M	и наименьшее	m	значения функции
f x x3 3x2		3x 2 на отрезке 1, 2 .
Решение. Найдем критические точки функции: f x 3x2 6x 3 3(x 1)2 ;
f x 0	в точке x 1 , принадлежащей отрезку 1, 2 .
Вычислим значения			функции в	критической точке		и	на концах отрезка:
f 1 1,	f 1 9,		f 2 0. Поэтому на данном отрезке наибольшее значение
функции M 0 , наименьшее значение					m 9 .

8.4. Выпуклость и вогнутость. Точки перегиба

Пусть кривая y f x , x a, b имеет в любой точке касательную.

Кривая называется выпуклой (соответственно вогнутой), если она расположена ниже (соответственно выше) любой своей касательной (или на ней).

Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.

На рис. 24 дуга AC кривой y f x ,				x a, c выпуклая, дуга CB кривой
y f x ,	x c, b вогнутая, точка C точка перегиба.

Теорема 8.5 (условие выпуклости).
Если		f x 0	на a,b , то кривая y f x ,		x a,b	выпукла.
Если		f x 0	на a,b , то кривая y f x ,		x a,b	вогнута.

Доказательство. Рассмотрим произвольную точку x0 a, b . Вычислим ординату точки кривой yкр. , используя формулу Тейлора первого порядка с остаточным членом в форме Лагранжа:

y	f x f x	f x0	x x	f c	x x	2	,

кр.	0	1!	0	2!	0

где точка c находится между x и x0 .	y
Используя уравнение касательной, вычислим ордина-
ту точки касательной yкас. f x0 f x0 x x0 .
44

		B
A	C	y f x
a	c	b x

Рис.24

Тогда	y	y	кас.	f c	x x		2 .

	кр.			2!		0
Так как по условию				f x 0		на a, b , то yкр. yкас. 0,		yкр. yкас. . Следователь-
но, кривая		y f x		является			выпуклой. Аналогично	доказывается, что при
f x 0 кривая является вогнутой.

Теорема 8.6 (необходимое условие точки перегиба).


Пусть точка с абсциссой			x0 является точкой перегиба кривой y f x .						Тогда
вторая производная f x			в точке x0 равна нулю или не существует.

Доказательство. Пусть			точка		перегиба	x0 , f x0 отделяет		выпуклую	часть
кривой от вогнутой. Тогда
при x x0	имеем:	f x			0 и, значит,	f x	убывает;
при x x0	имеем:	f x			0 и, значит, f x		возрастает.
Это означает, что функция				f x имеет минимум в точке x0 ,				следовательно, ее
производная f x f x				в этой точке или равна нулю, или не существует.

Замечание. Необходимое условие точки перегиба не является достаточным. Например, кривая y x4 является выпуклой , так как y 12x2 0 и значит, не имеет точек перегиба, хотя y 0 при x 0 .

Теорема 8.7 (достаточное условие точки перегиба).

Если вторая производная f x при переходе через точку x0 меняет знак,

то точка x0 , f x0	есть точка перегиба кривой y	f x .
Доказательство. Пусть	f x 0 при x x0 и f x 0	при x x0 . Тогда кривая

y f x выпукла при x x0 и вогнута при x x0 . Следовательно, точка с абсциссой x0 является точкой перегиба этой кривой.

Итак, для исследования кривой y f x на выпуклость и точки перегиба нужно:

1)найти точки, в которых вторая производная f x равна нулю или не существует;

2)рассмотреть интервалы, на которые эти точки разделят область определения функции;

3)исследовать знак f x на этих интервалах.

Пример 8.4. Найти точки экстремума функции f x 3 x2 1 . Исследовать гра-

фик этой функции на выпуклость, найти точки перегиба. Построить график функции.

у производной

f x положителен,

а числитель меняет знак только при

x 0 ,

причем с – на +. Значит, x 0 точка минимума; f

0 1 .

2). Для исследования на выпуклость найдем вторую производную:

3 x

2 x2 3

x2 1

x 3

3 x2

5 .

9 3 x2

Производная f x

всюду отлична от нуля , но не существует при x 1,

x 1 .

Эти точки разбивают область определения функции на интервалы , 1 ,

1, 1 , 1; . Исследуем знаки второй производной

на этих интервалах, результаты оформим в виде таб-

лицы.

, 1

1, 1

f x

−

y f x

выпукла

вогнута

выпукла

Точки с абсциссами x 1 являются точками переги-

Рис.25

ба. Их ординаты y 0 .

3). Для построения графика функции (рис.25) сначала нанесем точку минимума0; 1 , затем точки перегиба 1; 0 , 1; 0 и учтем данные таблицы.

8.5. Асимптоты графика функции

Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат.

Пример 8.5. Кривая y		1	(рис.26)	имеет	вертикальную асим-	y
Пример 8.5. Кривая y			(рис.26)	имеет	вертикальную асим-		1
		x				y	1
птоту x 0 и горизонтальную асимптоту y 0 .
птоту x 0 и горизонтальную асимптоту y 0 .								x
Отыскание вертикальных асимптот						o			x
Отыскание вертикальных асимптот
Для отыскания вертикальных асимптот следует						Рис.26

1) вычислить lim	f x , где x0 − точка разрыва функции или граничная точка
x x	0
области определения;
2) если lim f x , то прямая x x0				есть вертикальная асимптота (рис.26);
x x0					f x , то прямая x x0
если только правосторонний предел				lim	f x , то прямая x x0	является
				x x0 0
правосторонней вертикальной асимптотой.

Пример 8.6. Имеют ли вертикальные асимптоты следующие кривые

sin x

а) y

б) y e

, в) y ln x , г) y

x 3

Решение. а). Функция y

e x

имеет точку разрыва

x 3 . Так как lim

e x

, то

x 3

прямая x 3 является вертикальной асимптотой.

б). Функция y e 1/ x имеет точку разрыва x 0 . Так как lim e 1/ x ,

lim

e 1/ x 0 ,

x 0

то прямая x 0 является только левосторонней асимптотой.

в). Функция y ln x определена на интервале 0,

и не имеет точек разрыва.

Исследуем граничную точку x 0 области определения. Так как

lim

ln x , то

x 0

прямая x 0 является правосторонней асимптотой.

г). Функция y

sin x

имеет точку разрыва x 0 , но lim

sin x

1. Прямая x 0 не

x 0

является асимптотой.

Отыскание невертикальных асимптот

Теорема 8.8. Кривая y f x

имеет невертикальную асимптоту y k x b тогда

и только тогда, когда существуют конечные пределы

k lim

f x

b lim

f x k x .

Доказательство. Пусть кривая

y f x имеет асимптоту

y k x b . Тогда при

x функция

f x отличается от

k x b

на бесконечно малую

x ,

то есть

f x k x b x

, где x бесконечно малая при x . Из этого равенства имеем

f x

и f x k x b x .

Поэтому

lim

k ,

lim f x k x b lim x b .

f x

В обратную сторону,

пусть

существуют конечные

пределы

lim

k ,

f x k x b . По свойству предела функция f x k x

lim

отличается от своего

предела b

на бесконечно малую x при

x . Поэтому f x k x b x

или

f x k x b 0

при x .

Это и означает, что кривая y f x имеет

асимптоту y k x b .

Пример 8.7. Найти асимптоты кривой y x2 e x .

Решение. Эта функция определена на всей числовой прямой, не имеет точек разрыва, а значит, не имеет и вертикальных асимптот. Для отыскания невертикаль-

ной асимптоты y k x b вычислим k lim		f x	lim x e x . Рассмотрим отдель-
ной асимптоты y k x b вычислим k lim		x	lim x e x . Рассмотрим отдель-
	x	x	x
но случаи, когда x и	когда x :

k lim x e x

0 .

lim

lim x e x .

Следовательно, при

x асимптоты нет. Продолжим отыскание асимптоты

при

x и найдем b , учитывая что k 0 :

lim f x k x

lim

x2 e x 0

lim

x e

Итак,

k 0, b 0

при x .

Поэтому прямая

y k x b

или, в данном

случае, y 0 является асимптотой при

x .

Примеры для самостоятельного решения

Написать уравнения асимптот для следующих кривых:


а)	y	x4	,	б) y	x2 4		,	в) y (x 4) e x .
		(x 1)3
						x2 1
Ответы: а) x 1;	y x 3 ;		б)	x 1;		y 1;		в) y 0 (асимптота при x ).

8.6. Схема исследования функции и построение ее графика

При построении графика функции в общем случае можно использовать следующую схему:

1). Найти область определения функции.

2). Проверить функцию на четность, нечетность, периодичность. 3). Найти асимптоты графика функции.

4). Исследовать функцию на монотонность и экстремум.

5). Исследовать график функции на выпуклость и точки перегиба. 6). Найти ( если возможно) точки пересечения с осями координат.

Не всегда нужно точно следовать этой схеме. Отметим следующие случаи: а) иногда для построения графика функции достаточно пунктов 1-4 (краткая схема); б) если функция определена при x 0 , то не надо проверять ее четность;

в) если функция определена на конечном интервале, то не надо искать ее невертикальные асимптоты; г) если функция четная ( или нечетная), то достаточно исследование провести

для x 0 , а при построении графика функции учесть, что он симметричен относительно оси oy для четной функции (относительно начала координат для нечетной функции); д) если функция периодическая, то достаточно исследование провести на про-

межутке с длиной, равной периоду.

Пример 8.8. Исследовать по краткой схеме функцию f x	x2	и построить ее график.
	1 x

Решение. 1). Функция не определена при x 1 . Область ее определения состоит из двух интервалов , 1 , 1, .

2). Функция – общего вида (не является четной, нечетной), так как

f x

x f x ,

f x f x .

1 x

3). Найдем асимптоты графика функции.

Исследуем точку разрыва x 1 :

lim f x lim

x 1

1 x

Поэтому прямая x 1 является вертикальной асимптотой.

Найдем невертикальную асимптоту y kx b :

k lim

f x

lim

x 1 x

f x

kx lim

x2 x x2

b lim

x lim

lim

x 1

x x

Поэтому прямая y x 1 является невертикальной асимптотой.

4). Исследуем функцию на монотонность и экстремум:

2x 1 x 1 x2

x 2 x

;

1 x 2

f x не существует в точке x 1 , но

эта точка не входит в область определения

функции; f x 0

при

x 0,

x 2 ; эти точки разбивают область определения

функции на интервалы

; 0 ,

0; 1 ,

1; 2 ,

2; . Исследуем знаки произ-

водной на этих интервалах; результаты оформим в виде таблицы.

; 0

0;1

1; 2

f x

min

max

Построим асимптоты x 1,

y x 1 ,

точку минимума 0; 0 ,

y x 1

точку максимума 2; 4

и график функции (рис.27).

Рис.27

Пример

8.9. Исследовать по краткой схеме

функцию

f x x2e x , построить ее график.

Решение. 1). Область определения −интервал , .

2). Функция – общего вида ( не является четной , нечетной), так как

f x x 2 ex x2 ex ;

f x f x ;

f x f x .

3). Асимптота найдена в примере 8.8. Это ─ прямая y 0 при x .

4). Исследуем функцию на монотонность и экстремум:

f x 2 x e x x2 e x e x 2x x2 ;

f x 0

при x 0, x 2 . Эти точки разбивают область определения функции на

интервалы ; 0 ,

0; 2 ,

2; .

Исследуем знаки производной на этих

интервалах; учитывая, что e x

0 ; результаты оформим в виде таблицы.

; 0

(0; 2)

(2; )

f x

−

f x

min

max

4 e 2

Построим асимптоту

y 0

при x ,

точку минимума

Рис.28

0; 0 , точку максимума 2; 4 e 2 и график функции (рис.28).

Примеры для самостоятельного решения

Провести исследование и построить графики следующих функций:

x2 3x 2

в) y x

а) y

б) y 3

x ,

(x 1)2

Ответы: а) определена всюду

при x 1 ; асимптоты

y 1;

x 1;

точка

минимума x

; точка перегиба x

;

б) определена всюду; асимптот нет; точка минимума x 0 , максимума x

в) определена всюду, кроме x 0 ; асимптоты x 0 ,

y x ; точка минимума x 2 ;

всюду вогнута.

9. Вектор-функция

Понятие вектор-функции

Определение. Если каждому числу t из множества T по определенному закону поставлен в соответствие вектор r t , то говорят, что на множестве T задана

вектор-функция r r t		скалярного аргумента t .

Пусть векторы r	и r	t в базисе i , j, k имеют координаты:
		r x, y, z ,		r t x t , y t , z t .
Тогда векторное равенство r r t			равносильно трем скалярным равенствам:
		x x t ,	y y t ,		z z t .
Вектор-функция изображается с помощью годографа (рис.29).

Годограф вектор-функции r t это линия,					проходящая через концы векторов
r t , отложенных из фиксированной точки O					(годос путь, граф вычерчивать).

Например, годограф вектор-функции
Например, годограф вектор-функции	r t cos t i	sin t j

есть окружность радиуса, равного единице. Действительно, ра-

венство r				в координатной форме имеет вид:
	cos t i	sin t j
x cos t, y	sin t или		x2 y2 1 .

O	r t
	Рис.29

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.02.2015288 Кб33Матеем)).doc
#
22.07.2019118 Кб13Матезиус 6 (2).doc
#
01.07.2025126 Кб1матем лето.doc
#
22.02.2015523 Кб81матем статистика.docx
#
23.02.20155 Мб32Математика (Интегралы).rtf
#
13.03.20161 Мб28МАТЕМАТИКА 1 СЕМЕСТР АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.pdf
#
15.11.20193 Мб18математика 1 семестр.doc
#
01.05.2025613 Кб1Математика заочники.doc
#
23.02.201522 Кб13Математика и Физика экзамен.docx
#
01.07.20252 Мб1математика Матвеева Любовь.docx
#
23.02.20158 Мб13Математика методичка №2.pdf