МАТЕМАТИКА 1 СЕМЕСТР АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Предел и непрерывность вектор-функции

Предел вектор-функции определяется аналогично пределу скалярной функции.

Производная вектор-функции

Производные вектор-функции определяется аналогично производным скалярной функции.

t, t t . Отношение r t есть средняя скорость изменения r t на отрезке t, t t .

t

Если в вектор-функции r r t трактовать t как время, то годограф вектор-

функции задает траекторию движущейся точки; вектор r t задает скорость

движущейся точки; вектор r t задает ускорение движущейся точки.

Рис.30

51

Правила дифференцирования

Правила дифференцирования скалярной функции и их вывод переносятся и на векторную функцию. Перечислим эти правила.

Дифференциал вектор-функции

Дифференциал вектор-функции определяется и вычисляется аналогично дифференциалу скалярной функции:

Рис.31

52

Плоскость, проходящая через точку касания P0 перпендикулярно касательной прямой к линии L (рис.31), называется нормальной плоскостью линии L в точке

перпендикулярен нормальной плоскости. Поэтому уравнение нормальной плоскости к линии L в точке P0 имеет вид:

x t0 x x0 y t0 y y0 z t0 z z0 0 .

Пример 9.1. Составить уравнение касательной прямой и нормальной плоскости

ордината z 3t точки линии растет с ростом t (рис.32).

10. Понятие функции нескольких переменных и ее производных

Более подробно функции нескольких переменных будут рассмотрены далее. Здесь рассмотрим понятие частной производной, необходимое для изучения дифференциальных уравнений.

Определение. Переменная u называется функцией k переменных x1 , x2 ,...xk , если каждой совокупности чисел (x1 , x2 ,...xk) из множества D соответствует единственное значение переменной u . При этом принята запись u f (x1 , x2 ,...xk) , а множество D называется областью определения функции u .

Приведем простейшие примеры функций нескольких переменных.

1. Объем прямого кругового цилиндра V R 2 H есть функция двух переменных

Rи H , причем R >0 и H >0.

2.Функция z x2 y2 есть функция переменных x и y , определенная на всей плоскости OXY .

3. Функция u ln 1 x2 y2 z2 является функцией трех переменных x, y, z , опре-

деленной на множестве x2 y2 z2 1 .

Введем понятие частной производной. Для простоты записи ограничимся

53

функцией двух переменных f ( x, y) . Рассмотрим полное приращение функции

f ( x, y) f ( x x, y y) f ( x, y)

и частные приращения функции по x и y:

Чтобы вычислить частную производную от функции f по одному из ее аргументов, нужно вычислить производную функции f по этому аргументу, считая другие аргументы постоянными.

Пример 10.1.

Аналогично определяются и частные производные более высоких порядков, например, fx y x ( fx y )x .

Производные, в которых идет дифференцирование по различным переменным, называются смешанными, например, , , . Не доказывая, отметим, что смешанная производная, в случае ее непрерывности, не зависит от

2). Для функции f (x, y, z) x y2 z3 имеем:

54

Ответ: 24 x y2 z3 .

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике /Д.Т. Письменный.

М.: Айрис-пресс, 2003. Ч.1. 288 с.

2.Натансон И. П. Краткий курс высшей математики /И.П. Натансон. СПб.: Изд-

во «Лань», 2003. 736 с.

3.Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики /Б.П. Демидович, В.А. Кудрявцев. М.: Изд-во «Астрель», 2003. 654 с.

4.Краснов М.Л. Вся высшая математика./М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко. М.: Эдиториал УРСС, 2001. Ч.1. 352 с.

5.Высшая математика /под редакцией Яковлева Г.Н. М.: Высшая школа, 2004. 584 с.

6.Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа /под ред. А. В. Ефимова и Б. П. Демидовича М.: Наука, 1996. 464 с.

7.Бронштейн И. Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов /И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев . М.: Наука, 1980. 946 с.

8.Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа /Г.Н. Берман.

М.: Наука, 2002. 443 с.

9.Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов / под ред. Б.П. Демидовича. М.: «Изд-во Астрель», 2003. 495 с.

10.Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах /П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. М.: Высш. шк.,1997. Ч.1. 304 с.

11.Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов: учебное пособие для студентов высш. техн. учеб. заведений /Г. С. Бараненков, Б. П. Демидович, В.А. Ефименко и др.; под ред. Б.П. Демидовича. М.: ООО "Издательство Астрель", 2002. 495 с.

55

Учебно-методическое издание

Ревекка Максовна Минькова

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Редактор Н.П. Кубыщенко

ИД № 06263 от 12.11.2001г.

Редакционно-издательский отдел ГОУ ВПО УГТУ-УПИ 620002, Екатеринбург, Мира, 19

Ризография НИЧ ГОУ ВПО УГТУ-УПИ 620002, Екатеринбург, Мира, 19

56