I. Рскрытие неопределенности вида

При помощи производных можно находить пределы отношений бесконечно малых функций.

Теорема 1. Пусть для функций и выполнены следующие условия6

а) они определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может самой точки , причем и в указанной окрестности;

б) и при ;

в) существует предел отношения производных

Тогда существует равный ему предел отношения данных функций:

Доказательство. Доопределим функции и в точке , положив и . Тогда в указанной окрестности функции будут непрерывны. Для любого из этой окрестности на отрезке между и выполнены условия теоремы Коши.

Поэтому , где C некоторая точка между и . Так как при , , то

Теорема доказана.

Пример. .

Замечание. 1) Правило Лопиталя справедливо и при .

2. Если производные и удовлетворяют тем же требованиям, что и сами функции и , то правило Лопиталя можно применять повторно, а при соответствующих условиях и несколько раз, т.е.

Пример.

Здесь правило Лопиталя было применено три раза.

2. Правило Лопиталя переносится на тот случай, когда аргумент стремится к бесконечности. Действительно, произведем замену переменной (аргумента) . Тогда при . Поэтому .

3. Если предел отношения не существует, то отсюда еще не следует, что не существует предел отношения самих функций . Правило Лопиталя в этом случае неприменимо.

Пример. Если , то и предел в точке не существует.

Но .

2.Раскрытие неопределенности вида

Правило Лопиталя применимо и к отношению бесконечно больших функций.

Теорема 2. Пусть для функций и выполнены следующие условия:

а) они определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением самой точки , причем и в указанной окрестности;

б) и при ;

в) существует предел отношения производных

Тогда существует равный ему предел отношения данных функций:

Доказательство. Если в указанной окрестности точки по одну сторону от выбрать точки и , то на отрезке между и выполнены условия теоремы Коши.

Поэтому , где C некоторая точка между и . Отсюда

Зададим любое и найдем такое , что

По условию теоремы точку можно выбрать и зафиксировать так , чтобы для любой точки между и было

Так как и при , то

Поэтому существует такое, что при будет

Но тогда при указанных аргументах

По определению предела это означает, что .

Теорема доказана.

Замечания, сделанные по теореме 1, относятся и к теореме 2.

Пример. .

При помощи правила Лопиталя могут раскрываться и неопределенности отличные от и , так, например, неопределенности вида: ; ; и путем преобразований сводятся к отношению бесконечно малых или бесконечно больших функций.

Пример 1. .

Здесь мы имеем неопределенность вида (произведение бесконечно малой и бесконечно большой функций).

Пример 2.

Здесь мы имели неопределенность вида (разность двух бесконечно больших функций одного знака).

Пример 3. .

Здесь мы имеем неопределенность вида (показательно – степенная функция с бесконечно малыми основанием и показателем степени).

Аналогично раскрываются неопределенности вида и .

Асимптоты

Определение 1. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если при или бесконечно большая.

Например, график функции имеет вертикальную асимптоту , т.к.

Пусть функция определена на промежутке или .

Определение 2. Прямая называется наклонной асимптотой графика функции при , если функция представима в виде , где бесконечно малая функция при .

Теорема. Для того чтобы график функции имел при наклонную асимптоту необходимо и достаточно, чтобы

Доказательство. Необходимость. Пусть график функции имеет при асимптоту , т.е. выполняется равенство

.

Но тогда и

Достаточность. Пусть для справедливы равенства

Тогда из второго равенства следует, что , где бесконечно малая функция при . Но тогда , и, следовательно, прямая

является наклонной асимптотой графика функции .

Пример. Найти асимптоты графика .

Так как , то прямая является вертикальной асимптотой.

Далее, .

Следовательно, наклонной асимптотой будет прямая .

Исследование функций. Построение графика

В заключение приведем схему общего исследования функции.

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать непрерывность функции и найти ее точки разрыва.

3. Найти асимптоты графика.

4. Выяснить является ли данная функция четной или нечетной.

5. Выяснить является ли данная функция периодической.

6. Исследовать возрастание и убывание функции; найти точки экстремума.

7. исследовать направление выпуклости графика и найти точки перегиба.

8. Найти точки пересечения графика с осями координат и исследовать поведение функции при и .

Данные исследования следует записать в таблицу и использовать при построении графика функции.

В качестве примера проведем полное исследование функции и построим ее график.

1. Область определения функции .

2. Функция является непрерывной как частное двух непрерывных функций.

3. Так как , то прямые и являются вертикальными асимптотами графика. Далее имеем . Следовательно, прямая есть наклонная асимптота графика.

4. Так как , то данная функция является нечетной, поэтому ее график симметричен относительно начала координат.

5. Функция не периодическая.

6. Функция дифференцируема всюду в области ее определения. Производная функции

в точках , , .

при , т.е. на множестве .

при , т.е. на множестве .

Отсюда следует, что функция возрастает на множестве

и убывает на множестве .

Производная меняет знак в точках и . Это точки экстремума. Так как в точке знак производной меняется с – на + (при возрастании аргумента), то в этой точке функция имеет минимум .

Так как в точке знак производной меняется с + на -, то в этой точке функция имеет максимум .

В точке функция экстремума не имеет, т.к. в этой точке производная не меняет своего знака.

7. Вторая производная функции

;

в точке . Далее, на множестве , поэтому на этом множестве график функции направлен выпуклостью вверх: на множестве , значит на этом множестве график направлен выпуклостью вниз.

В точке вторая производная меняет свой знак с - на +, следовательно, точка является точкой перегиба графика.

8. , т.е. график функции проходит через начало координат.

Результаты исследования представим таблицей

		-3	-	0		3
		4,5 минимум	не сущ.	0 перегиб	не сущ.	-4,5 максимум
	-	0	не сущ.	0	не сущ.	0	-
	+ + выпуклость вниз		не сущ.	0	не сущ.	- - выпуклость вверх