4.5. Включение синусоидального напряжения

в последовательную цепь RLС

Пусть в моментt = 0 к последовательной цепи RLC подключается синусоидальное напряжение

,

где ω – частота приложенного напряжения. В контуре начнётся переходный процесс, характер которого зависит от соотношения между параметрами ω, ω₀ и β.

Рассмотрим наиболее простой вариант, когда:

1) β ≪ ω₀ (процесс является слабозатухающим; при этом ω_своб =);

2) внешняя частота ω не равна ω₀, но близка к ней, т. е. ω ≈ ω₀;

Уравнение Кирхгофа при t > 0 будет таким:

. (1)

Продифференцировав его, и учтя, что получим:

, (2)

где − коэффициент затухания,− собственная частота.

Общим решением уравнения (2) при ω_своб будет функция

. (3)

Здесь последнее слагаемое – это частное, а именно − установившееся решение неоднородного уравнения (2). Амплитуда установившегося тока и фазовый сдвиг между током i и напряжением и_вх определяются методом векторных диаграмм:

, а фазовый сдвиг .

Начальные условия: 1) i(0)=0. 2) Так как и_С(0)=0, то из (1) получаем: .

С учётом (3), это даёт: , а приβ≪ω₀ и ω ≈ ω₀ коэффициент .

И тогда ток в контуре

.

Фазовый сдвиг φ можно положить равным нулю, так как это не влияет на визуальную картинку i(t), и тогда окончательно:

. (4)

В частности, при ω = ω₀ (точно), ток

. (5)

Функции (4) и (5) показаны на рисунках:

Литература

Л. А. Бессонов. Теоретические основы электротехники. М., 1973.