1.4.2. Теорема безу и схема горнера

Для любого многочлена степени и любого числа найдется такой многочлен степени

что справедливо равенство:

(Теорема Безу)

Коэффициенты многочлена могут быть вычислены по следующему алгоритму:

Результаты вычисления коэффициентов многочлена удобно записывать в специальную таблицу, называемую схемой Горнера:

				…			…
				…			…

Понятно, что если – корень многочлена , то и, следовательно, (следствие из теоремы Безу).

Таким образом, чтобы выяснить, является ли число корнем многочлена , нужно заполнить схему Горнера. Если окажется равным 0, то – корень. В противном случае – не корень .

Замечание. Все рациональные корни многочлена

с целыми коэффициентами являются целыми и являются делителями свободного члена .

Пример. Найти целые корни уравнения

Решение. Целые корни ищем среди делителей свободного члена: ± 1, ± 2. Проверяем по схеме Горнера каждое из этих чисел.

	1	3	1	–3	–2
1	1	4	5	2	0	корень
1	1	5	10	12		не корень
–1	1	3	2	0		корень
–1	1	2	0			корень (кратности 2)
–2	1	0				корень

Данное уравнение имеет 3 корня: 1; –1; –2, причем –1 – корень кратности 2. Следовательно,

Основная теорема алгебры. Всякое уравнение имеет n корней действительных или комплексных.

Если действительные корни многочлена равны: α, β, …, λ и, соответственно, их кратности k, l, ..., p, то данный многочлен можно разложить на множители следующим образом:

где старший коэффициент .

Если комплексное число является корнем многочлена с действительными коэффициентами, то корнем этого многочлена обязательно будет и число , т. е. комплексные корни многочлена всегда попарно сопряженные.

Следствие. Каждый многочлен с действительными коэффициентами может быть разложен на множители следующим образом:

причем дискриминант для квадратных трехчленов .

Примеры.

1.

2.

При разложении многочлена на множители удобно применять

Формулы сокращенного умножения

● – не разлагается ●

● ●

● ●

● ●