Задание 6

Пример 1.Вычислить криволинейный интеграл 2 рода по замкнутому контуруC⁺гдеС:y²= 2x,y=x– 4.

Решение.ОбозначениеC⁺указывает, что обход контура осуществляется в положительном направлении, то есть против часовой стрелки.

Проверим, что для решения задачи можно использовать формулу Грина (2.9)

Так как функции a_x(x;y) = 2y–x²;a_y(x;y) = 3x+yи их частные производныенепрерывны в плоской замкнутой плоскостиG, ограниченной контуромC, то формула Грина применима.

.

Для вычисления двойного интеграла изобразим область G, предварительно определив точки пересечения дуг кривыхy²= 2xиy=x– 4; составляющих контурC.

Точки пересечения найдем, решив систему уравнений:

Второе уравнение системы равносильно уравнению x²– 10x+ 16 = 0, откудаx₁= 2,x₂= 8,y₁= –2,y₂= 4.

Итак, точки пересечения кривых: A(2; –2),B(8; 4).

Рис.

Так как область G – правильная в направлении осиOx, то для сведения двойного интеграла к повторному спроектируем областьGна осьOYи воспользуемся формулой

.

Так как a= –2,b= 4, x₂(y) = 4+y, то

Пример 2.Вычислить криволинейный интеграл 2 рода по замкнутому контуругдеС– контур треугольника с вершинамиA(0; 0),B(1; 2),C(3; 1).

Решение.Обозначениеозначает, что контур треугольника обходится по часовой стрелке. В случае, когда криволинейный интеграл берется по замкнутому контуру, формула Грина принимает вид

Изобразим область G, ограниченную заданным контуром.

Функции и частные производныеинепрерывны в областиG, поэтому можно применить формулу Грина. Тогда

Область Gне является правильной в направлении какой-либо из осей. Проведем отрезок прямойx= 1 и представимGв видеG=G₁G₂, гдеG₁иG₂области, правильные в направлении осиOy.

Тогда

Для сведения каждого из двойных интегралов по G₁иG₂к повторному будем использовать формулу

где [a;b] – проекция областиDна осьOx,

y=y₁(x) – уравнение нижней ограничивающей кривой (или прямой),

y=y₂(x) – уравнение верхней ограничивающей кривой (или прямой).

Запишем уравнения границ области G₁и найдем

AB: y = 2x, 0 ≤ x ≤ 1; AC: , 0 ≤x ≤ 1.

Составим уравнение границы BCобластиG₂, используя формулу

BC:где 1 ≤x≤ 3.

DC: 1 ≤x≤ 3.

Тогда

Итак,

Задание 7

Пример 1.Найти работу силыпри перемещении материальной точки вдоль линииL:y=x³от точкиM(0; 0) к точкеN(1; 1).

Решение. Работу переменнойпри перемещении материальной точки по дуге кривойLопределяем по формуле (2.3) (как криволинейный интеграл второго рода от функциипо кривойL).

Так как векторная функция задана уравнениеми дугаплоской ориентированной кривой определена явно уравнениемy=y(x),x[x₁;x₂], гдеy(x) непрерывно дифференцируемая функция, то по формуле (2.7)

.

В рассматриваемом примере y=x³,,x₁=x_M= 0,x₂=x_N= 1. Поэтому

Пример 2. Найти работу силыпри перемещении материальной точки вдоль линииL:x²+y²= 4 от точкиM(0; 2) к точкеN(–2; 0).

Решение. Используя формулу (2.3), получаем

.

В рассматриваемом примере дуга кривой L(MN) – это четверть окружности, задаваемой каноническим уравнениемx²+y²= 4.

Для вычисления криволинейного интеграла второго рода удобнее перейти к параметрическому заданию окружности: x=R cost,y=Rsintи воспользоваться формулой (2.5)

.

Так как x= 2cost,y= 2sint,,,получаем