2 .Интегрирование тригонометрических функций.

Если в интеграле вида функция R(sinx,cosx)-рациональная относительно синуса и косинуса, то можно применить подстановку tg=t. Найдём замену для sinx и cosx. Воспользуемся формулами двойного аргумента для синуса и косинуса разделим их на тригонометрическую единицу, затем числитель и знаменатель разделим на cos^2, получим:

sinx=2sincos===. (1)

сosx=cos²-sinx²===. (2)

Так как tg=t то =arctgt, dx=.

Получили окончательные формулы для универсальной тригонометрической подстановки.

tg=t, sinx=, cosx.=, dx=. (1)

После подстановки получаем интеграл от рациональной функции относительно переменной t, решение которого рассмотрели выше.

=.

Перед применением универсальной подстановки надо помнить, что она является, как и любое универсальное устройство более громоздким и сложным, по сравнению со специальным устройством. Поэтому вначале надо поискать другие методы нахождения интеграла. Рассмотрим несколько частных случаев.

1). Интеграл вида решается различными способами в зависимости от чисел m и n.

а) Если хотя бы одно из чисел m или n нечётное натуральное применяется подстановка

sinx=t, cosxdx=dt если n начётное число и cosx=t, –sinxdx=dt если m нечётное число.

б). Если m и n чётные натуральные, то применяются формулы пони-жения степени.

sin²x=(1-cos2x), cos²x=(1+cos2x), sinxcosx=sin2x. (3)

Рассмотрим несколько примеров для понимания сущности рассмо-тренных приёмов.

Пример 1. Найти . Решение. Так как нечётная степень приcosx, то делаем замену sinx=t, cosxdx=dt, получаем:

==

=.

Выполним обратную замену.

=.

Пример 2. Найти .Решение. В этом примере нечётная положительная степень при sinx, следовательно, принимаем cosx=t, тогда –sinxdx=dt. Имеем: ===+=-t= -cosx+C.

Пример 3. Найти . Решение. Так как обе степени чётные, то для решения применим формулы (1). Тогда=

==(x-sin4x)+C.

2). Интегралы вида ,,решаются с помощью формул:

sinmx cosnx=[sin(m+n)x+ sin(m-n)x], (4)

sinmx sinnx=-[cos(m+n)x-cos(m-n)x], (5)

cosmx cosnx=[cos(m+n)x+cos(m-n)x].(6)

Пример 4. Найти .Решение. Применим формулу (4) получим == -cos8x+cos2x+C.

Пример 5. Найти . Решение. К данному интегралу не подходит ни один из выше изложенных частных случаев. К нему, безусловно, можно применить универсальную тригонометрическую подстановку. Попробуем найти другой приём. Умножим и разделим подынтегральную функцию наsinx , затем в числителе sinx подведём под знак дифференциала, а к знаменателю применим основное тригонометрическое тождество, получим табличный интеграл ХV. таблицы 2.

== -=-ln+C=ln+C.

Решим тот же интеграл с помощью универсальной тригонометрической подстановки. Положим tg=t, sinx=, dx=. Получим

===ln|t|+C=ln|tg|+C. Если мы вспомним формулу половинного угла для тангенса tg=, то убеждаемся в равенстве первообразных, независимо от метода её нахождения при этом ещё раз убеждаемся в том, что один и тот же интеграл можно найти различными методами.

Пример 6. Найти . Решение. Пожалуй, в этом интеграле не обойтись без универсальной тригонометрической подстановки. Положимtg=t, sinx=, cosx.=, dx=. Получим ==-2=. Разложим подынтегральную дробь на простейшие.

==. Приравняем числители. А(t-5)+

+В(t-1)=1. Отсюда: А=-1/4, В=1/4. Имеем: =. Тогда

==-1/4=-1/4ln|t-1|+1/4ln|t-5|+C=

=-1/4ln|tg-1|+1/4|tg-5|+C.