Sopromat_sem_11(old)

3. НАПРЯЖЕННО–ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ

Если твердое тело нагружено системой сил, то через любую его точку можно провести бесчисленное множество различно ориентированных площадок, по которым действуют нормальные и касательные напряжения, вызывающие линейные и угловые деформации.

3.1. ПОНЯТИЕ О НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ

Напряженное состояние – совокупность напряжений, действующих по всевозможным площадкам, проходящим через рассматриваемую точку.

Напряжение – величина, характеризующая интенсивность внутренних усилий, возникающих в деформируемом теле под влиянием внешних воздействий, то есть внутренняя сила, приходящаяся на единицу площади в окрестности рассматриваемой точки.

Напряжение полное p – уравновешивающее внешнюю нагрузку. На-

пряжение р – величина векторная, раскладывается на составляющие: по нормали к сечению σ и в плоскости сечения τ, причем p2 = 2 + 2.

Напряжение нормальное σ – перпендикулярное к сечению.

грань по ходу часовой стрелки.

Напряженное состояние характеризуют тензором напряжений. Тензор (от лат. tensus напряженный, натянутый) – величина особого

рода, задаваемая числами и законами их преобразования; является развитием и обобщением векторного исчисления и теории матриц.

30

диться в равновесии при действии сил, приложенных к его граням. Нормальные силы, приложенные к граням параллелепипеда, взаимно уравновешены и, следовательно, три уравнения равновесия тождественно удовлетворяются. Составив уравнения суммы моментов всех сил относительно координатных осей x, y, z, можно получить следующие три равенства:

xy yx; yz zy; xz zx.

Эти равенства называют законом парности касательных напря-

жений: если по какой-либо площадке действует некоторое касательное напряжение, то по перпендикулярной к ней площадке будет действовать касательное напряжение, равное по величине и противоположное по знаку.

С изменением ориентации параллелепи-

педа в пространстве выделенного объема напряженного тела соотношение между нормальными и касательными напряжениями будет изменяться. Следовательно, и запись тензора для одного и того же напряженного состояния будет различной.

Количество независимых компонент тензора в этом случае уменьшается до трех.

31

Выводы:

а) любое из значений напряжений на наклонных площадках pα, σα, α меньше напряжения σ в поперечном сечении, следовательно, не столь опасны;

б) напряжения на наклонных площадках pα, σα, α зависят от угла α наклона площадки, а таких площадок в нагруженном теле можно выделить бесчисленное множество, значит, и вариантов описания одного и того же напряженного состояния множество.

Для практики интересны площадки, на которых возникают экстремальные значения напряжений. Для их отыскания приравнивают нулю первую производную нормального напряжения по углу α.

Экстремальные нормальные напряжения d 2 cos sin sin2 ;

На этой площадке α=0 = 0; σmax= σ. Следовательно, эта площадка являет-

ся главной.

Экстремальные касательные напряжения

d

На площадке под углом α = 45° max= σ/2. Полученным соотношением объясняется связь между допускаемыми напряжениями: 0,5 , которую используют в расчетах при кручении и сдвиге.

Рис. 3.6. Изображение одноосного растяжения (слева), сжатия (справа) и соответствующие им тензоры напряжений и круги Мора

33

CD CB 1 2 .

2

Абсцисса центра круга – среднее арифметическое главных напряжений

0C 1 2 .

2

Нормальное напряжение σα на наклонной площадке равно сумме отрезков

Для рассматриваемого случая главное напряжение σ1 повернуто по ходу часовой стрелки относительно большего алгебраически напряжения σх. Следовательно, в формуле должен быть знак минус:

Примечание. Согласно приведенной формулы значение аргумента 2α функции тангенса не может превышать 90°, следовательно, значение угла α не может превышать 45°. Из этого следуют правила:

направление большего из главных напряжений откладывают от большего из заданных напряжений σх, или σу;

положительное значение угла α откладывают против хода часовой стрелки;

направление σmax всегда проходит через те две четверти осей координат, к которым сходятся стрелки xy и yx;

если одно из главных напряжений окажется отрицательным, то полученные напряжения обозначают σ1 и σ3; если отрицательны оба, то σ2 и σ3.

Изображаем площадку под действием главных напряжений. Знак угла α отрицательный, поэтому угол откладываем по ходу часовой стрелки от вертикали, то есть от направления большего алгебраически из заданных напряжений (σу направлено вертикально). Линия действия максимальных главных напряжений σ1 проходит через I и III квадранты, где расположены ребра параллелепипеда, к которым стягиваются касательные напряжения , стремящиеся сдвинуть грани так, чтобы преобразовать квадрат в ромб .

Вывод. Аналитическим путем и графическим построением определена ориентация главных площадок в выделенном объеме нагруженного тела. Найдены значения главных нормальных напряжений. Результаты аналитического и графического решения совпали.

3.7. ОБЪЕМНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ

При объемном напряженном состоянии, когда 1 2 3 0 в окрестности исследуемой точки выделяют элементарный кубик с гранями, параллельными главным площадкам. Через кубик проводят площадку (заштирихована) параллельно σ3 (рис. 3.10, а). Напряжения σα, α на этой площадке зависят только от σ1 и σ2. Используют приемы и формулы (3.3–3.8) для плоского напряженного состояния. Диаметр круга напряжений LI (рис. 3.11) равен разности σ1 – σ2. Аналогично для площадки, параллельной σ1 (рис. 3.10, б); диаметр круга напряжений LII определяется разностью σ2 – σ3. То же для площадки, параллельной σ2 (рис. 3.10, в).

39