Sopromat_sem_11(old)

Таким образом:

z1 z cosα y sinα; y1 y cosα z sinα.

Момент инерции в новой системе координат

Iz1 y12 d A y cosα z sinα 2

A A

y2 cos2 αd A 2 z y cosα sinα d A z2 sin2 α dA.

A A A

Выполнив аналогичные действия относительно другой оси, получим:

Примечание. Относительно главных осей центробежный момент инерции равен нулю.

Складывая первые два равенства, получим

Сумма моментов инерции относительно любых двух взаимно перпендикулярных осей не меняется (инвариантна) при их повороте.

6.6. ГЛАВНЫЕ ОСИ ИНЕРЦИИ И ГЛАВНЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ

При изменении угла α значения Iz1, Iy1, Iz1y1 (6.13) изменяются, и при некотором значении угла α0 они принимают экстремальные значения. Взяв первую производную по углу α от формул (6.13) и приравняв ее нулю, получим:

Эта формула определяет положение двух осей, относительно одной из которых осевой момент максимален, а относительно другой – минимален. Такие оси называют главными. Моменты инерции относительно главных осей называют главными моментами инерции. Их вычисляют следующим образом:

Главные оси обладают свойствами:

центробежный момент инерции относительно них равен нулю; моменты инерции относительно главных осей экстремальны;

70

Центробежный момент инерции

Izc yc 0 a1b1A1 0 a2b2A2 1,5 1,5 20 2,5 2,5 12 120 см4 .

Направления главных осей инерции

Угол α0 (положительный) откладываем против хода часовой стрелки от оси с бόльшим моментом инерции, то есть zC .

Величины главных центральных моментов инерции

72

Опоры и опорные реакции

Схемы реальных опорных устройств можно свести к трем типам.

Шарнирно-подвижная опора допускает поворот опорного сечения и перемещение его в одном направлении. Опорная реакция перпендикулярно к плоскости опирания катков.

Шарнирно-неподвижная опора допускает только поворот опорного сечения балки. Реакция имеет две составляющие: горизонтальную и вертикальную.

Жесткая заделка (защемление) не допускает поворота опорного сечения и любых его перемещений. Имеет три реакции: горизонтальную и вертикальную составляющие, а также опорный момент.

74

Поперечная сила Q(x) – функция от абсциссы х – величина постоянная.

75

Изгибающий момент в произвольном сечении равен алгебраической сумме моментов от всех внешних сил, действующих по одну сторону от сечения х, взятых относительно центра тяжести рассматриваемого сечения.

7.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ ПРИ ИЗГИБЕ

речной силы по абсциссе х равна интенсивности распределенной нагрузки, перпендикулярной оси балки.

d x

Первая производная от изгибающего момента по абсциссе х равна поперечной силе.

С учетом формул (7.1) и (7.2) получаем дифференциальные зависимости Д. И. Журавского

Полученные зависимости действительны в правой системе координат, то есть когда х возрастает от левого конца балки к правому. В левой системе координат знаки перед Q и q обратные.

7.3. ПРАВИЛА ПРОВЕРКИ ПОСТРОЕНИЯ ЭПЮР Q И M

Напомним, геометрический смысл первой производной некоторой функции – тангенс угла наклона касательной к кривой, отображающей эту функцию, и положительным направлением оси абсцисс. На основании

77

дифференциальных зависимостей (7.3) при изгибе установлены следующие правила.

1.На участках, свободных от распределенной нагрузки, эпюра Q ограничена прямыми линиями, параллельными базовой (поперечная сила постоянна), а эпюра М – наклонными (изгибающий момент изменяется по линейному закону).

2.На участке с равномерно распределенной нагрузкой эпюра Q – наклонная прямая, а эпюра М – парабола выпуклостью в направлении действия нагрузки q.

3.В тех сечениях, где к балке приложены сосредоточенные силы:

а) на эпюре Q будут скачки на величину и в направлении приложенных сил; б) на эпюре М будут изломы, причем острие излома направлено по действию силы.

4.В сечении балки, где приложен сосредоточенный момент, эпюра

Мимеет скачок на величину этого момента. На эпюре Q действие пары сил не отражается.

5.На участках, где Q > 0, момент М возрастает, то есть положительные ординаты увеличиваются, отрицательные – уменьшаются. На участках, где поперечная сила Q отрицательна, момент М убывает.

6.В том сечении, где эпюра Q, изменяясь, пересекает базисную линию (поперечная сила Q = 0), изгибающий момент достигает экстремума (максимума или минимума). Касательная к линии, ограничивающей эпюру

Мв этом сечении, параллельна оси эпюры.

7.На концевой шарнирной опоре поперечная сила равна реакции этой опоры, а изгибающий момент равен нулю, если в опорном сечении не приложена пара сил.

8.В защемленном конце балки (заделке) значения Q и M равны опорной реакции и опорному моменту.

7.4. НОРМАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ

Рассмотрим простейший случай изгиба – чистый изгиб, при котором в поперечных сечениях бруса действует только одно внутреннее усилие – изгибающий момент. Например, в условиях чистого изгиба работают участки балки, на которых изгибающий момент постоянен, а поперечная сила отсутствует (dM/dx = 0).

При расчете балки на изгиб будем считать справедливыми принятые ранее гипотезы, из которых выделим следующие:

78

гипотеза плоских сечений (Бернулли): поперечные сечения бруса плоские до деформации, остаются плоскими и в деформированном состоянии;

гипотеза постоянства напряжений по ширине бруса;

гипотеза отсутствия боковых давлений: боковые волокна бруса не давят друг на друга.

Рис. 7.4. Схемы нагружения, при которых в сечениях возникает чистый изгиб

Геометрический анализ

Двумя сечениями ad и bc на расстоянии dx выделим малый элемент (рис. 7.5, а, б) и рассмотрим его деформацию (рис. 7.5, в). Длина отрезка нейтрального слоя dx = ρ∙dφ. Волокно нейтрального слоя не деформируется ε = 0, σ = 0. Любое другое волокно, находящееся на расстоянии у изменит свою длину и станет равным (ρ+y)dφ. Его относительное удлинение

x d x y d d . dx

Деформация волокон пропорциональна их расстоянию до нейтрального слоя.

Физический анализ

В общем случае нагружения продольная деформация по закону Гука

x 1 x y z ,

E

однако в силу гипотезы отсутствия боковых давлений σz= 0 и σy= 0, то есть волокна бруса испытывают только деформацию растяжения. Имеет место линейное напряженное состояние

79