Функция взаимной корреляции процесса x3(t) и его производной по времениможет быть представлена в виде:

(15)

Как видно из приведенных выражений, обе функции взаимной корреляции нечетны, поэтому при экспериментальных исследованиях достаточно снять их зависимость от сдвига τлибо при положительных, либо при отрицательных его значениях.

3. Характеристика лабораторной установки:

Лабораторная работа выполняется на блоке № 2 «Спектры и корреляционные функции». Упрощённая функциональная схема выполнения лабораторной работы представлена на рисунке 2.

Рисунок 3 – Упрощенная функциональная схема выполнения

лабораторной работы № 5

Генератор шума (ГШ) формирует случайный широкополосный процесс, математической моделью которого является белый шум – случайный процесс с постоянной, независящей от частоты спектральной плотностью мощности. Подключая с помощью перемычек исследуемые цепи, можно сформировать процессы X₁(t), X₂(t) и X₃(t), описанные в методических указаниях к лабораторной работе № 4. Эти процессы поступают на дифференцирующий операционный усилитель, выходные процессы которого совместно с исходными процессами подаются на коррелятор, состоящий из устройства управляемой переменной задержки, перемножителя и фильтра нижних частот ФНЧ, выполняющего операцию нахождения среднего значения произведения двух перемножаемых процессов:

(16)

Здесь К₀ – постоянный коэффициент, учитывающий коэффициенты передачи дифференцирующего операционного усилителя и перемножителя; T_y – время усреднения, в первом приближении равно постоянной времени ФНЧ коррелометра. Управление временем задержки переключателями.

В связи с наличием на выходе схемы перемножения постоянной составляющей, не зависящей от произведения входных процессов, при построении графиков функций взаимной корреляции необходимо из напряжения на выходе u_к(τ_з), соответствующего времени задержки τ_з, вычесть показания вольтметра, полученные при нулевой задержке, то есть строить функцию взаимной корреляции по формуле:

(17)

где u_кi(τ_з) – показания вольтметра (или осциллографа) при измерении значения функции взаимной корреляции случайного процесса X_i(t) и его производной по времени приτ = τ_з.

Структурная схема Simulink-модели, соответствующая реальной установке, изображённой на рисунке 3, приведена на рисунке 4. Здесь гауссов белый шум с генератора Gaussian Noise Generator или равномерный белый шум с генератора Uniform Noise Generator сразу подаётся на входы всех трёх исследуемых цепей, а к коррелометру (блок XY-Correlometer) выходы цепей подключаются с помощью переноса точек подсоединения. Отличие коррелометра в настоящей работе от коррелометра в предыдущей состоит в том, что блок XY-Correlometer имеет два входа, на которые можно подавать как один и тот же сигнал (это определение АКФ), или различные сигналы (это определение ВКФ). Время задержки задаётся как единственный параметр коррелометра и меняется от 0 до 10*RC мкс. Поскольку постоянная времени, как и ранее, принята равной одной секунде (RC = 1 с), то в модели максимальная задержка практически для всех цепей лежит за пределами времени корреляции каждого из процессов.

Рисунок 4 – Блок-схема модели для исследования статистических

характеристик случайных процессов и их производных

Индикация результатов моделирования проводится следующим образом. Во-первых, выходные сигналы и их производные от каждой цепи можно наблюдать на осциллографах ScopeRC, Scope2RC и ScopeRLC соответственно. Во-вторых, все эти шесть процессов передаются в рабочее пространство системы MATLAB, где в дальнейшем их цифровые модели обрабатываются и зарисовываются с помощью М-функции LabRabRCS5Obr. В-третьих, к выходу блока коррелометра подключён цифровой дисплей, на котором в конце времени моделирования T можно получить числовую оценку уровня корреляции R_x(tau) ≈ R_x(T, tau).

4. Подготовка к лабораторной работе:

При домашней подготовке необходимо выполнить следующую работу.

1. Изучить раздел теории случайных процессов, посвященный корреляционному анализу совокупности двух случайных функций по конспекту лекций, литературе [1-3] и настоящим указаниям.

2. Рассчитать и построить функции взаимной корреляции случайных процессов X₂(t) и X₃(t) и их производных в зависимости от для процессаX₂(t) и его производной (в выражении для функции взаимной корреляции множитель перед ней не учитывать), иприα=0,2 для процесса X₃(t) и его производной (множитель ω₀ перед не учитывать).

3. Составить функциональную схему измерений с указанием используемых приборов. Разработать методику измерений – последовательность выполнения лабораторной работы, выбор значений задержки для каждого из процессов. Заготовить таблицы измерений.

4. Подготовить ответы на контрольные вопросы, сформулированные в п.7.

4. Лабораторное задание:

   1. Составить из блоков пользовательской библиотеки структурную схему модели измерительной установки согласно рисунку 4. Величину задержки в блоке XY-Correlometer задать равной 0 с. С помощью управляемого переключателя Manual Switch подключить генератор белого гауссового шума. Входы коррелометра подсоединить к выходному процессу и его производной(на выходе 2RC-цепи). К выходу коррелометра подключить цифровой вольтметр.

   2. Временной интервал моделирования задать равным: Start time = 1e-2 c, Stop time = 500 c, максимальный шаг интегрирования задать равным 1е-2 с. Провести измерения, необходимые для построения функции взаимной корреляции , последовательно увеличивая величину задержки в коррелометре от 0 с до 5 с. При малых задержках (до 1 с) приращение выбирать равным 0.05 с, при больших задержках (свыше 2 с) увеличивать его до 0.5 с. Построить функцию на миллиметровой или клетчатой бумаге.

   3. Провести аналогичные измерения и построить функции взаимной корреляции процесса вRLC-цепи (коэффициент передачи по умолчанию ). Построить функцию на миллиметровой бумаге.

   4. С помощью блока GraphicsShow запустить М-функцию обработки результатов LabRabRCS5Obr и провести анализ всех шести графиков зависимостей авто- и взаимных корреляционных функций (случай подключения генератора гауссового белого шума). Для этого на всех координатных осях указать теоретические и соответствующие экспериментальные зависимости и сопоставить последние с графиками взаимных корреляционных функций, построенных с использованием коррелометра и цифрового дисплея. Сделать вывод об эргодичности исследуемых случайных процессов

   5. Провести аналогичные измерения и построить функции взаимной корреляции процесса при десятикратном увеличении резистораR в RLC-цепи коэффициент передачи коэффициент передачи .

   6. С помощью блока GraphicsShow запустить М-функцию обработки результатов LabRabRCS5Obr и провести анализ двух последних графиков зависимостей авто- и взаимных корреляционных функций (случай подключения генератора гауссового белого шума). Для этого на всех координатных осях указать теоретические и соответствующие экспериментальные зависимости и сопоставить последние с графиками взаимных корреляционных функций, построенных с использованием коррелометра и цифрового дисплея. Сделать вывод об эргодичности исследуемых случайных процессов.

   7. Подключить ко входу цепей генератор равномерного белого шума и повторить измерения функций взаимной корреляции исогласно пунктам 5.2 и 5.3, а также провести сравнительный анализ полученных шести графиков зависимостей авто- и взаимных корреляционных функций (случай подключения генератора равномерного белого шума) с подобными графиками, полученными в пункте 5.4.

4. Требования к отчету:

Отчет должен содержать:

1. формулировку целей и задач лабораторной работы;

2. функциональную схему установки с подключенными внешними приборами;

3. структурную схему её программной модели;

4. результаты домашней подготовки (графики функций автокорреляции и взаимной корреляции процессов X₂(t) и X₃(t) и их производных в зависимости от нормированного времени θ);

5. таблицы и графики экспериментальных исследований, полученные с помощью М-функции LabRabRCS5Obr (рисунок 5);

6. выводы по результатам экспериментальных исследований и сравнения их с результатами расчетов.

В выводах должны обсуждаться результаты работы, а не перечисляться проведённые исследования. Необходимо сравнить расчётные и экспериментальные корреляционные характеристики, обсудить причины их несовпадения.

Рисунок 5 – Графики нормированных авто- и взаимных

корреляционных функций процессов в RLC-цепи

4. Контрольные вопросы:

   1. Дать определение функции взаимной корреляции, перечислить ее основные свойства.

   2. Записать выражения, связывающие взаимную спектральную плотность мощности двух случайных процессов с функцией взаимной корреляции. Указать взаимосвязь взаимных спектральных плотностей и.

   3. Указать способы нахождения функций взаимной корреляции случайных процессов на входе и на выходе линейной цепи.

   4. Доказать выражение, связывающее функцию взаимной корреляции производного случайного процесса с его функцией автокорреляции, без использования взаимной спектральной плотности.

   5. Получить выражение для взаимной спектральной плотности случайного процесса и его производной.

   6. Перечислить основные свойства функции взаимной корреляции стационарного случайного процесса и его производной.

   7. Разработать функциональную схему аппаратурного метода исследования функции взаимной корреляции двух случайных процессов.

   8. При каких условиях усреднение по множеству при анализе функции взаимной корреляции может быть заменено усреднением по времени?

Лабораторная работа № 6