1.10. Моделирование стационарных временных рядов

Большое внимание в эконометрических исследованиях уделяется моделированию стационарных временных рядов. Это объявляется тем, что многие временные ряды могут быть приведены к стационарному виду после операции выделения тренда, удаления сезонной компоненты или взятия разности. К тому же ряды ошибок статистических моделей, как правило, являются стационарными.

Среди моделей стационарных временных рядов наиболее распространены модели авторегрессии и модели скользящего среднего.

Рассмотрим наиболее простые из них.

1.10.1. Процессы белого шума и случайного блуждания

Процессом белого шума называют стационарный временной ряд, для которого математическое ожидание равно нулю, дисперсия постоянна и не зависит от времени, и коэффициенты автокорреляции любого порядка равны нулю. Последнее означает, что речь идёт о чисто случайном стационарном процессе без какой-либо автокорреляции. Процессом авторегрессии в простейшей форме (авторегрессия первого порядка или AR(1)-процесс без константы) называется процесс, описываемый следующим уравнением:

_(1.2)

где – процесс белого шума, – некоторая случайная величина (начальное значение), а – некоторый постоянный коэффициент.

Вычислим дисперсию этого процесса.

D(y_t) = β² D(y_t-1) + σ²,

где σ² – дисперсия белого шума. Если рассматриваемый временной ряд стационарный, то D(y_t) = D(y_t-1), тогда D(y_t) = β² D(y_t) + σ² или D(y_t) = σ²/(1- β²), что имеет смысл, если |β|<1. Получили, что если |β|<1, то модель (1.2) описывает стационарный временной ряд,

Запишем соотношение (1.2) через процесс белого шума. Для этого перепишем (1.2) для индекса t-1. Получим y_t-1 = βy_t-2 + _t-1. Подставив полученное выражение для y_t-1 в (1.2) получим y_t = β(βy_t-2 + _t-1) + _t или y_t = β²y_t-2 + β _t-1 + _t. Повторив эту процедуру (подставив в последнее выражение y_t-2) получим y_t = β³y_t-3 + β² _t-2 + β _t-1 + _t и т.д. Окончательно получим (при y₀ =0):

y_t = β^t-1 ₁ + β^t-2 ₂ +…+ β² _t-2 + β _t-1 + _t.

Пусть теперь . Тогда

y_t = ₁ + ₂ +…+ _t-2 + _t-1 + _t.

Вычислим дисперсию последнего процесса. Получим D(y_t) =tσ², т.е. дисперсия зависит от времени и процесс, описываемый моделью (1.2) при , не является стационарным. Такие процессы называют процессами случайного блуждания (random walk process). Такое название объясняется тем, что каждое последующее значение уровня такого ряда определяется случайным отклонением от предыдущего: y_t = y_t-1 + _t.

Процесс случайного блуждания отличается от стационарного процесса AR(1) тем, что влияние возмущений _t в нём не затухает:

y_t = _t + _t-1 + _t-2 + _t-3 +…

в то время как в AR(1) их влияние с течением времени затухает (|β| < 1):

y_t = _t + β _t-1 + β² _t-2 + β³ _t-3 + … .

Процесс случайного блуждания называют также процессом со стохастическим трендом и записывают y_t = .

Если в процесс случайного блуждания y_t = y_t-1 + _t включить константу, т.е. представить его в виде y_t = µ + y_t-1 + _t, то получим случайное блуждание с дрейфом (random walk with drift). Такое название он получил потому, что повторив для этого процесса вышеприведённую процедуру получим

y_t = µ t + ₁ + ₂ +…+ _t-2 + _t-1 + _t.

В этом случае на стохастический тренд накладывается ещё и детерминированный линейный тренд, т.е. y_t = µ t + .

Если , то имеем нестационарный случайный процесс взрывного характера и в экономическом анализе такие процессы обычно не рассматриваются.

На рисунке 1.21 приведены примеры временных рядов для рассмотренных случаев. Вверху, слева пример белого шума, справа – пример случайного блуждания (AR(1)-процесс без константы с ). Внизу, справа – пример случайного блуждания с дрейфом (AR(1)-процесс с константой и с ). Внизу, слева – AR(1)-процесс взрывного характера (с β =1,1, т.е. с ).

Рисунок 1.21 – Графики анализируемых рядов

Введём понятие лагового оператора L. Если его применить к ряду y_t,, то тем самым сдвинем уровень ряда на один такт времени назад, т.е. Ly_t = y_t-1. Перепишем процесс случайного блуждания с помощью этого оператора: y_t = y_t-1 + _t или y_t – y_t-1 = _t. Далее (с применением оператора сдвига) получим y_t – Ly_t = _t или (1-L)y_t = _t. Такие процессы называются процессами единичного корня. Этот термин объясняется тем, что у лагового полинома корень равен единице, т.е. корень уравнения β(L) = 0 равен единице (L = 1).

На практике модель случайного блуждания используется для описания относительных показателей, в том числе динамики темпов роста, а процесс случайного блуждания с дрейфом – для описания многих временных рядов, описывающих абсолютные показатели, включая предложение денег и реального валового национального продукта.

Следует различать типы стационарных процессов: они могут быть стохастическими и AR(1)-процессами. Визуально их различить проблематично. Так, на рисунке 1.22 приведены графики двух стационарных рядов; слева – белый шум, справа – AR(1)-процесс с параметром β = 0,5.

Рисунок 1.22 – Графики анализируемых рядов

Рисунок 1.23 – Кореллограммы анализируемых рядов

Визуально они действительно мало различимы, но их кореллограммы существенно различаются. В случае белого шума автокорреляции не выходят за пределы доверительной области нуля и соответствующие Q-статистикам вероятности больше 0,05 (левая часть рисунка 1.23). А в случае стационарного AR(1)-процесса автокорреляции и частные автокорреляции (по крайней мере, первого порядка) значимо отличны от нуля и Q-статистика и соответствующие им вероятности отклоняют гипотезу о том, что это белый шум. Но тем не менее этот ряд стационарный.