Лабораторная работа 4 Перестановки, нумерующие биекции

1. Цель работы

Целью лабораторной работы является изучение основных свойств перестановок, понятия мощности множества, знакомство с понятием нумерующей биекции.

2. Краткие теоретические положения

Множество натуральных чисел от 1 до или множествоназывается начальным отрезкомнатурального ряда и обозначается. Биективное отображениеназываетсяn _ перестановкой и задается таблицей вида , где. Множество- перестановок обозначается. Таким образом,. Произведениемдвух биекцийназывается биекциятакая, что

Таким образом, произведение двух перестановок – это перестановка, которая получается, если сначала выполнить первую из перемножаемых перестановок, а затем вторую. Таким образом, имеем , то есть произведение перестановок, это джойн перестановок как отображений.

Пример 2.1. Найти произведение и произведениеперестановок, и.

Решение. Найдем . Процесс вычисления реализуем в виде диаграммы:

.

Таким образом, получили перестановку .

Аналогичным образом находим :

Получили: .

Решение задачи закончено.

Замечание. Из данного примера видно, что, вообще говоря, , то есть операция умножения перестановок не является коммутативной.

Единичной перестановкой называется перестановка вида, то есть эта перестановка удовлетворяет соотношению. Единичная перестановка обладает свойством:. то есть единичная перестановка играет роль единицы при умножении перестановок.

Обратной перестановкой по отношению к перестановкеназывается однозначно определенная перестановкатакая, что.

Пример 2.2. Дана перестановка . Найти обратную перестановку.

Решение. Для нахождения обратной перестановки достаточно поменять местами строки ее таблицы:

.

Данный ответ является верным. Но его целесообразно привести к каноническому виду (то есть однозначно определенному) путем перестановки столбцов полученного ответа таким образом, чтобы в верхней строке получилась стандартная последовательность . Окончательный ответ имеет вид:

.

Перестановка называется циклической или циклом длины , если при ее действии часть элементовмножестваостаются неподвижными, то есть, а остальные элементы этого множествапереставляются по циклу в соответствии с диаграммой

и выполняется соотношение .

Такая перестановка записывается в виде .

Пример 2.3. Дан цикл . Записать эту перестановку в стандартном виде.

Решение. Элементы множества остаются неподвижными при действии данной перестановки, а элементы множествапереставляются по схеме:. Получаем перестановку

.

Всякая перестановка, может быть представлена в виде произведения непересекающихся, то есть не имеющих общих элементов циклов. Непересекающиеся циклы коммутируют, то есть перестановочны, поэтому порядок записи циклов в таком разложении не существенен.

Пример 2.4. Перестановку представить в виде произведения циклов.

Решение. Представим перестановку в виде ориентированного графа на множестве вершин . Расположение вершин графа произвольно, выбираем расположение по кругу. Образы элементов изображаем ориентированными ребрами. Получаем граф:

Из визуального анализа данного графа получаем, что в графе имеется ориентированный цикл длины 3, орцикл длины 2 и 3 элементарных цикла-петли длины 1. Получаем искомое разложение в виде циклов. Порядок циклов в разложении и выбор первого элемента каждого цикла не существенен. Если порядокперестановки предполагается известным, то полученное разложение на циклы можно записать более кратко.

Порядком перестановки называется наименьшее положительное целое число такое, что .

Пусть перестановка разложена в произведениенепересекающихся цикловс длинами,. Тогда порядок перестановки находится по формуле.

Например, для данной перестановки имеем . Отсюда.

Транспозицией называется перестановка, являющаяся циклом длины 2. То есть, транспозиция фактически является перестановкой некоторых двух элементов . Такая транспозиция записывается в виде. Всякая перестановка может быть записана как произведение транспозиций.

Пример 2.5. Представить перестановку как произведение транспозиций.

Решение. Используем результат предыдущего примера, в котором было получено разложение данной перестановки в произведение циклов: . В данном разложении первый циклуже является транспозицией, а второй циклможно представить в виде произведения двух перестановок, то есть циклический сдвиг можно реализовать серией двух последовательных парных обменов, при которых первый элемент«проталкивается» вдоль цикла.

Таким же образом любой цикл длиныможно представить в виде произведениятранспозиции в виде.

В данном примере получаем разложение перестановки на транспозиции: =. В этом разложении имеется три перестановки, то есть нечетное число. Такая перестановка называетсянечетной и это записывается в виде . Если число транспозиций в разложении перестановки четное, то перестановка называется четной и для нее выполняется свойство .

3. Задание

Для двух перестановок найти:

a) их произведение ;

b) произведение ;

c) обратную перестановку ;

d) Обратную перестановку ;

e) Разложение перестановки в произведение циклов;

f) Разложение перестановки в произведение циклов:

g) Порядок перестановки ord(p);

k) Порядок перестановки ord(q);

l) Разложение перестановки p в произведение транспозиций;

m) Разложение перестановки q в произведение транспозиций;

n) Четность ord(p) перестановки p;

o) Четность ord(q) перестановки q;

Для выполнения пунктов задания следовать примерам, изложенных в теоретической части.

1. Индивидуальные задания

   № вар.
   1
   2
   3
   4
   5
   6
   7
   8
   9
   10
   11
   12
   13
   14
   15
   16
   17
   18
   19
   20
   21
   22
   23
   24
   25

1. Контрольные вопросы