Вариант 16

1. Вектор , перпендикулярный осиOY, образует с осью ОХ угол 60, а с осью OZ – тупой угол. Найти координаты вектора , если.

2. Вектор коллинеарен векторуи образует тупой угол с осьюOZ. Зная, что , найти его координаты.

3. Даны векторы и. Найти проекцию векторана вектор.

4. Определить, при каком  векторы ибудут взаимно перпендикулярны, если,и.

5. Даны четыре точки: А(1, 3, 1), В(2, 0, 3), С(4, 1, 5), D(3, 2, 1). Убедившись в том, что они являются вершинами параллелограмма, найти косинус угла между большей диагональю и стороной AD.

6. Найти единичный вектор , перпендикулярный векторамии образующий с ортомострый угол.

7. Дан треугольник с вершинами В(7, 3, 1), С(6, 2, 0), D(3, 2, 7). Найти его площадь и длину высоты СМ.

8. Даны три силы , приложенные к точке С(3,6, 1). Вычислить работу, производимую равнодействующей этих сил, когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается в точку D(6, 2, 7).

9. Вычислить объем пирамиды с вершинами в точках А(2, 3, 5), В(0, 2, 1), С(2, 2, 3), D(3, 2, 4) и длину ее высоты, опущенной на BCD.

10. Даны векторы . Определить значение, при котором векторы компланарны.

Вариант 17

1. Вектор составляет с осямиOX и OY углы α = 45ᵒ, γ = 45ᵒ. Вычислить его координаты при условии, что .

2. Вектор коллинеарен векторуи образует тупой угол с осьюOZ. Зная, что , найти его координаты.

3. Найти длину вектора , если,,.

4. Даны векторы ,и. Найти проекцию векторана вектор.

5. Определить внутренний угол при вершине В треугольника АВС с вершинами А(2, 1, 3), В(1, 1, 1), С0, 0, 5).

6. Вектор , перпендикулярный векторами, образует с осью ОХ тупой угол. Найти его координаты, если.

7. Дан треугольник с вершинами А(3, 1, 4), В(2, 4, 2), С(4, 4, 4). Найти его площадь и длину высоты СN.

8. Даны три силы , приложенные к точкеB(3, 6,−1). Вычислить работу, производимую равнодействующей этих сил, когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается в точку C(−6, −2, 17).

9. Вершины пирамиды находятся в точках А₁(7, 10, 3), А₂(−2, 8, 2), А₃(6, 8, 9), А₄(10, 6, 6). Вычислить ее объем и длину высоты, опущенной из вершины А₁ на грань А₂А₃А₄.

10. При каком значении z точка N(−2, 1, z) ,будет лежать в плоскости точек А(−3, 4, −1), В(−2, −5, 0), С(1, −3, −2)?

Вариант 18

1. Известны модуль вектора и два угла, образуемые им с координатными осями:  = 60,  = 120. Найти координаты вектора .

2. Вектор образует тупой угол с осьюOХ и коллинеарен вектору . Найти координаты вектора,.

3. Найти проекцию вектора на вектор, если,и.

4. Даны четыре точки: С(1; 3; −1), D(2; 0; 3), Е(4; −1; 5), F(3; 2; 1). Убедиться, что они являются вершинами параллелограмма. Вычислить косинус угла между меньшей диагональю и стороной CD.

5. Вектор , перпендикулярный векторами, образует с ортомтупой угол. Найти его координаты, зная, что.

6. Даны вершины треугольника А(4, 4, 5), В(1, 2, 1), С(−2, −3, 6). Найти его площадь и длину высоты СК.

7. Вектор перпендикулярен векторамии образует с осьюOZ острый угол. Найти координаты вектора , если,,.

8. Даны три силы , приложенные к точкеE(−3, −2, 5). Вычислить работу, производимую равнодействующей этих сил, когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается в точку D(9, −5, 4).

9. Вычислить объем пирамиды с вершинами в точках А(2,−3, 5), В(0, 2,1), С(−2, −2, 3) и D(3, 2, 4) и длину высоты CN.

10. Даны векторы , ,. При каком значении эти векторы компланарны?