2.2. Методы представления сигналов

В результате развития радиотехники и математического анализа была создана теория сигналов на основе функционального анализа, в котором сигнал представляется как вектор в специальном бесконечномерном линейном пространстве. Это дало возможность говорить о величине сигнала, проводить сравнительный анализ сигналов и т. д. Линейное множество сигналов наделено специальной структурой, причем выбор структуры диктуется физическими соображениями (например, электрические сигналы складываются, умножаются и т. д.).

• В линейном пространстве сигналов вводится координатный базис (координатные оси). Вектора координатного базиса e_i линейно независимы, то есть выполняется соотношение:

(4)

Если дано разложение сигнала S(t) в виде:

(5)

то числа C_i являются проекциями сигнала S(t) относительно выбранного базиса.

- Норма – длина сигнала в линейном пространстве сигналов, вводится для количественной оценки сигналов. Вводится понятие нормы для:

действительных аналоговых сигналов:

(6)

комплексных сигналов:

(7)

дискретных сигналов:

(8)

Линейное пространство становится нормированным.

- Энергия сигнала – квадрат нормы.

(9)

- Метрика – расстояние между сигналами в нормированном линейном пространстве. Обычно метрику определяют как норму разности двух сигналов:

(10)

Зная метрику можно судить о том, насколько хорошо один из сигналов аппроксимирует другой. Линейное нормированное пространство становится метрическим.

- Угол между двумя сигналами метрического нормированного линейного пространства определяется из их скалярного произведения:

(11)

Косинус угла между сигналами:

(12)

Линейное пространство с таким скалярным произведением называется Гильбертовым.

- Ортогональные сигналы. Два сигнала называются ортогональными, если их скалярное произведение (а также и взаимная энергия) равно нулю.

(13)

В Гильбертовом пространстве задается ортонормированный базис, для которого определяется соотношение:

(14)

Примером ортонормированного базиса может служить система тригонометрических функций с кратными частотами, дополненная постоянным сигналом.

• Обобщенный ряд Фурье. Произвольный сигнал S(t) в Гильбертовом пространстве можно разложить в обобщенный ряд Фурье в выбранном базисе:

(15)

где С_i – коэффициенты ряда, определяющиеся с учетом ортонормированности выбранного базиса (при i=k):

(16)

Геометрическая интерпретация: С_к – проекция вектора на базисное направление.

2.3. Спектральное представление сигналов

В радиотехнике в качестве базиса ортогональных функций берутся гармонические функции, что связано с простотой их генерации, а также с тем, что эти сигналы инвариантны относительно преобразований в стандартных электрических цепях.

Спектральное разложение сигнала – это представление сигнала в виде суммы гармонических колебаний с различными частотами.

Частотный спектр (спектр) – набор отдельных гармонических компонент сигнала.

2.3.1 Ряд Фурье

Ряд Фурье для периодического сигнала (в ортонормированном базисе гармонических функций с учетом (15),(16)):

(17)

С коэффициентами:

	(18)
	(19)
	(20)

В общем случае периодический сигнал содержит постоянную составляющую и бесконечный набор гармонических колебаний – гармоник, с частотами _n = n₁, n = 0, 1,. кратными основной частоте (₁) последовательности. Четный сигнал имеет только косинусоидальные составляющие, нечетный сигнал – синусоидальные.

Каждую гармонику можно описать ее амплитудой А_n и начальной фазой _n. Тогда коэффициенты ряда Фурье:

(21)

и эквивалентная форма ряда Фурье:

(22)

Спектральная диаграмма периодического сигнала – это графическое изображение коэффициентов ряда Фурье для конкретного сигнала.

Спектральные диаграммы бывают амплитудные и фазовые (рис. 19). По горизонтальной оси диаграмм в масштабе откладываются частоты гармоник, а по вертикальной – их амплитуды или начальные фазы.

Рис. 19. Амплитудная и фазовая диаграммы периодического сигнала

2.3.2. Комплексная форма ряда Фурье

Спектральное разложение периодического сигнала можно провести в системе базисных функций, состоящих из экспонент с мнимыми показателями. Функции этого базиса периодичны с периодом Т и ортонормированны на отрезке времени [-T/2,T/2]. Тогда комплексный ряд Фурье с учетом нормы комплексного сигнала:

(23)

При вычислениях нужно учитывать связь экспоненциальных функций с тригонометрическими:

	(24)
	(25)
	(26)

В случае экспоненциального представления спектр сигнала будет содержать гармоники в отрицательной области на оси частот, при этом нужно учитывать, что отрицательная частота это не физическое, а математическое понятие, определяемое представлением комплексных чисел.

2.3.3. Спектральное представление непериодических сигналов

Пусть существует одиночный импульсный сигнал S(t) конечной длительности. Мысленно дополним его такими же сигналами, периодически следующими через некоторые интервалы времени – Т. В результате получим периодическую последовательность S_пер(t), которую можно представить в виде ряда Фурье (23).

Для перехода к одиночному импульсу увеличим до бесконечности период повторения импульсов Т. При этом:

1) Частоты n₁ и (n+1)₁ окажутся сколь угодно близкими и поэтому дискретную переменную n₁ можно заменить непрерывной –  – текущей частотой.

2) Амплитудные коэффициенты С_n станут бесконечно малыми (стремящимися к нулю) из-за наличия Т в знаменателе.

3) Рассмотрим интервал частот 0 в окрестностях некоторой частоты ₀. В пределах этого интервала будет содержаться N отдельных пар спектральных составляющих, частоты которых будут отличаться друг от друга сколь угодно мало (N=/₁=T/2).

4) В результате указанных предположений спектральные составляющие можно складывать так, как будто они имеют одну и ту же частоту и характеризуются одинаковыми комплексными амплитудами. Комплексная амплитуда эквивалентного гармонического сигнала внутри интервала :

(27)

Причем величина

(28)

называется спектральной плотностью сигнала S(t) (спектральной функцией или преобразованием Фурье данного сигнала).

С точки зрения физического смысла спектральная плотность S(₀)=S(2f₀) – масштабный множитель, связывающий малую длину интервала частот f и отвечающую ему комплексную амплитуду A_f0 гармонического сигнала на центральной частоте f₀.

При решении обратной задачи, то есть нахождения сигнала по его спектральной плотности, необходимо воспользоваться обратным преобразованием Фурье для сигнала S(t):

(29)

Условие существования спектральной плотности сигнала: для того, чтобы сигналу S(t) можно было бы сопоставить его спектральную плотность S(), необходимо, чтобы сигнал был абсолютно интегрируем, то есть, чтобы существовал интеграл:

(30)

Кратко изложенная теория спектрального анализа сигналов позволяет анализировать прохождение сигналов через радиотехнические цепи, устройства, системы.