Некоторые сведения о векторах.

Элементы векторной алгебры. Скаляр. Вектор.

Правила сложения векторов. Скалярное и векторное произведение.

Векторами называются величины, характеризующиеся численным значением и направлением. Численное значение вектора называется модулем (модуль дает длину вектора). Модуль вектора – скаляр, причем всегда положительный.

Сложение векторов достигается, если начало второго вектора совместить с концом первого, а затем провести из начала первого в конец второго результирующий вектор.

Разностью двух векторов а и b называется такой вектор с , который в сумме с вектором b дает вектор а.

Умножение вектора на скаляр. В результате умножения вектора а на скаляр α получается новый вектор b= αа. Из определения операции умножения вектора на скаляр следует, что всякий вектор а можно представить в виде а=, где- модуль вектора а,- вектор с модулем, равным единице, имеющий такое же направление, как и а. Векторназывается единичным вектором или ортом вектора а.

Проекция вектора. Рассмотрим некоторое направление в пространстве, которое мы зададим осью l. Пусть вектор а образует с осью l угол . Величина

(а – модуль вектора) называется проекцией вектора а на ось l.

Проекция вектора есть величина алгебраическая. Если вектор образует с данным направлением острый угол, то cos>0, так что проекция положительна. Если угол  тупой, то cos<0, и проекция отрицательна. Когда вектор перпендикулярен к данной оси, проекция равна нулю.

Радиус-вектор. Радиусом-вектором r некоторой точки называется вектор, проведенный из начала координат в данную точку (рис.). Его проекции на координатные оси равны декартовым координатам данной точки:

.

Радиус-вектор можно представить в виде

где i, j, k – орты осей.

Тогда

Скалярное произведение векторов. Скалярным произведением векторов а и b называется скаляр, равный произведению модулей этих векторов на косинус угла α между ними: . Когда α острыйаb>0, при α тупом аb<0. Скалярное произведение взаимно перпендикулярных векторов равно нулю.

Векторное произведение. Векторным произведением векторов а и b называется вектор с:

а и b – модули перемножаемых векторов, α – угол между векторами, n – единичный вектор нормали

1. Кинематика

1.1. Системы отсчета. Прямолинейное движение

Механика – наука о движении тел. Простейшей формой движения материи является механическое движение. Механическое движение - это процесс изменения взаимного расположения тел. Совокупность тел, выделенная для рассмотрения, называется механической системой. Какие тела следует включить в систему, зависит от характера решаемой задачи. В физике вводят понятие тела отсчета. Тело отсчета – это материальное тело, относительно которого изучают движение. Система координат с телом отсчета, линейкой и часами составляет систему отсчета.

Вообще при движении тела в пространстве нужно учитывать его размеры и расположения его в пространстве. Это иногда осложняет решение задачи. Поэтому к рассмотрению вводят материальную точку. Но любое тело можно рассматривать, как систему материальных точек, то есть, иначе говоря, движение этого тела есть суперпозиция движений отдельных материальных точек, из которых состоит предоставленное тело.

Линия, вдоль которой перемещается тело, называется траекторией. По виду траектории движения разделяются на два типа: прямолинейное и криволинейное.

Материальная точка – это тело, размерами которого можно пренебречь в данных условиях задачи. (При рассмотрении движения Земли вокруг Солнца вполне можно пренебречь размерами Земли. При этом описание движения значительно упрощается – положение Земли в пространстве можно определить одной точкой.)

Кинематика – раздел механики, изучающий движение, безотносительно к причинам его породившим. Все системы отсчета в кинематике равноправны. В зависимости от свойств объекта кинематика распределяется на кинематику материальной точки и кинематику твердого тела. В кинематике различают прямую и обратную задачи. Прямая задача кинематики – по заданному положению тела в пространстве в любой момент времени определить скорость и ускорение также в любой момент времени.

Обратная задача – по заданному ускорению, как функции времени найти скорость и координаты или радиус-вектор частицы в любой момент времени.

Описать движение – это значит знать в любой момент времени: где находится тело; с какой скоростью оно движется; какое у него ускорение.

В зависимости от того, каким образом задают положение тела в пространстве, выделяют различные способы описания движения.

а) векторный способ. Рассмотрим прямую задачу кинематики.

В векторном способе положение точки в пространстве определяется при помощи радиус-вектора. Радиус-вектором точки А относительно, например точки О, называют вектор, начало которого находится в точке О, а конец в точке А.

Пусть за времятело переместилось вдоль некоторой траектории из точки 1 в точку 2. Вектор, соединяющий начальное и конечное положение тела называют перемещением. Из рис. видно, что перемещение тела равно приращению радиус-вектора за время:.

Любое перемещение происходит в пространстве по времени, поэтому для характеристики движения вводят понятие вектор скорости движения, которое определяется изменением перемещения по времени. Различают мгновенную и среднюю скорости.

Мгновенная скорость – это предел отношения перемещения тела ко времени за которое оно совершено при стремлении к нулю.(это скорость в предоставленный момент времени, то есть это производная радиуса-векторапо времени):

(1.1)

Средним вектором скорости называют отношение перемещения тела ко времени, за которое оно совершено:

(1.2)

Скорость изменения скорости называют ускорением тела.

(1.3)

Таким образом, для того чтобы задать движение тела векторным способом достаточно знать зависимость от времени радиус-вектора. При этом, местоположение тела определяется радиус-вектором, скорость тела – первой производной от радиус-вектора по времени, а ускорение – второй производной от радиус-вектора по времени.

Обратная задача кинематики. Задано ускорение как функция времени. Найти скорость и радиус-вектор. Для однозначного решения обратной задачи необходимо задать начальные условия, то есть начальное положение тела и его скорость в начальный момент. Даны начальные условия и

Рассмотрим движение тела с постоянным ускорением .

По определению ускорение . Тогда приращение скорости, соответствующее бесконечно малому времениdt

(1.4)

Проинтегрируем обе части уравнения (1.4), с учетом начальных условий.

После интегрирования получим

Получаем, что в момент времени t

(1.5)

Так как скорость по определению , то отсюда приращение радиус вектора. Интегрируем обе части

Находим зависимость радиус-вектора от времени:

(1.6)

Соотношения (1.5) и (1.6) дают хорошо известные из школьного курса соотношения для равноускоренного движения.

Путь пройденный телом есть:

В случае замедленного движения может наступить момент времени , при котором скорость тела становится равной нулю. В этом случае путь тела слагается из пути до «точки поворота» и после «точки поворота».

б) координатный способ.

В этом способе положение тела в пространстве в момент времени t задается при помощи его координат, например, декартовых, которые можно рассматривать как проекции радиус-вектора на соответствующие оси (см.рис. 1.2)

Первые производные от координат по времени определяют проекции вектора скорости на соответствующие координатные оси:

Тогда вектор скорости определяется как векторная сумма его компонент:

где единичные векторы (орты) вдоль осей

Модуль вектора скорости:

Аналогично находим проекции вектора ускорения:

Тогда вектор ускорения определяется как векторная сумма его компонент

Модуль вектора ускорения:

Таким образом, для того чтобы задать движение тела координатным способом достаточно знать зависимость от времени его координат.

Обратная задача: заданы проекции ускорения, необходимо найти проекции вектора скорости и координаты. Начальные условия имеют вид

и

Решается аналогично векторному способу.

Например, для проекций на ось х:

.

Аналогично для у, z и , .

Средней скоростью тела называют скалярную величину, равную отношению пути S(t) ко времени t, за которое этот путь пройден.

1.2. Вращательное движение.

Основными кинематическими величинами, что характеризуют вращательное движение точки, имеется ее угловая скорость и угловое ускорение.

Угловая скорость точки в определенный момент времени определяется отношением вектора углового смещения к соответствующему промежутку времени

. (1.10)

Вектор совпадает за направлением с вектором и также является аксиальным вектором. За единицу угловой скорости в системе отсчета СИ принят радиан за секунду (рад/с).

Изменение вектору со временем характеризуют вектором углового ускорения,который определяют как

. (1.11)

Направление вектора углового ускорения совпадает с направлением прироста вектора . Вектор, как и, является аксиальным. За единицу углового ускорения в СИ принят радиан за секунду в квадрате (рад/с2).

Решение всех задач на вращение твердого тела вокруг неподвижной вехе аналогично по форме задачам на прямолинейное движение точки. Достаточно заменить линейные величине на соответствующие угловые, получим соотношение для вращательного движения тела (см.табл. 1.1). const

Таблица 1.1

Основные величины и равнения
поступательного движения						вращательного движения
Перемещение						Угол поворота радиус-вектора
Пройденный путь
Линейная скорость					Угловая скорость
Линейное ускорение					Угловое ускорение
Равномерное прямолинейное движение					Равномерное вращательное движение
Равнопеременное прямолинейное движение				Равнопеременное вращательное движение