Lektsii_3_semestra_po_algebre

ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ КОММУТАНТА

Напомним определение коммутанта G′ = [G, G] группы G:

G′ = [G, G] = h[x, y] = x−1y−1xy | x, y Gi,

т. е. коммутант это подгруппа группы G, порожденная всеми коммутаторами.

Поскольку [x, y]−1 = [y, x], коммутант G′ совпадает с совокупностью всех конечных произведений коммутаторов.

Лемма 1. Коммутант G′ нормальная подгруппа группы G. Фактор-группа G/G′ = GAB абелева группа, обладающая следующи-

ми универсальным свойством (здесь π = πG′ : G → G/G′ канонический гомоморфизм, при котором π(g) = gG′): для всякого гомоморфизма f из группы G в абелеву группу A существует и единственный гомоморфизм f′ : G/G′ → A, для которого f = f′π.

Доказательство. Так как для x, y G имеем f([x, y]) = [f(x), f(y)] = eA

(f гомоморфизм групп, A коммутативная группа), то f(G′) = eA,

т.е. G′ = KER π KER f. Полагая f′(gG′) = f(g), видим, что:

1)это отображение определено корректно

(gG′ = hG′ = g−1h G′ KER f

f(g)−1f(h) = f(g−1)f(h) = f(g−1h) = eA = f(g) = f(h));

2)f′(gG′hG′) = f′(ghG′) = f(gh) = f(g)f(h) = f′(gG′)f′(hG′) т. е. f′ гомоморфизм групп;

3)ясно, что f = f′π, поскольку f′π(g) = f′(gG′) = f(g) для всех g G. Это соображение одна из форм теоремы о гомоморфизме (теорема

о факторизации).

2

Следствие 1. Коммутант группы G это наименьшая нормальная подгруппа в G, фактор по которой абелев.

ПРИМЕРЫ КОММУТАНТОВ

Пример 1. Коммутант группы SN это группа AN для любого n ≥ 2.

Доказательство. Действительно, коммутатор любых двух подстановок является четной подстановкой, поэтому S′N AN. С другой стороны, мы показывали выше, что любой цикл длины три является коммутатором:

(ijk) = (jk)(ik)(jk)(ij) = [(jk), (ij)],

а циклы длины три порождают AN.

Пример 2. Коммутант группы AN равен:

{e} при n ≤ 3;

V4 при n = 4;

AN при n ≥ 5.

Пример 3. Коммутант группы кватернионов Q8 это ее центр {±1].

Доказательство. Действительно, центр группы Q8 является нормальной подгруппой, фактор по которой абелев (так как состоит из четырех элементов).

С другой стороны, коммутант не может быть меньше центра, так как группа Q8 не является абелевой.

Пример 4. Коммутант группы движений “четноугольника” D2K = ha, b | a2K = b2 = e, bab−1 = a−1i это подгруппа ha2i.

3

Доказательство. Так как

[a, b] = aba−1b−1 = a2,

то ha2i D′2K. Значит, искомый коммутант не меньше, чем ha2i.

С другой стороны, данная подгруппа нормальна (простая проверка), фактор-группа содержит четыре элемента, т.е. абелева. Значит, это коммутант.

Упражнение 1. Найдите коммутант правильного “нечетноугольника”

D2N+1.

РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Название этого класса групп восходит к эпохе Абеля, Галуа и др. Задача о решении алгебраических уравнений в радикалах привела к понятию разрешимой группы.

Рассмотрим следующий ряд подгрупп группы G, называемый производным рядом коммутантов:

G G′ G′′ = [G′, G′] . . . G(I) = [G(I−1), G(I−1)] . . .

(каждая следующая подгруппа G(I) является коммутантом

[G(I−1), G(I−1)]

предыдущей подгруппы G(I−1)).

Замечание 1.

1)Если f : G → H гомоморфизм групп, то f([x, y]) = [f(x), f(y)], и поэтому f(G′) H′. Следовательно, f(G′′) H′′, и далее f(G(I)) H(I).

2)Если g G, f : G → G, f(x) = g−1xg для x G, внутренний автоморфизм, то, применяя 1), видим, что g−1G(I)g GI, т. е. G(I) G (все подгруппы G(I) производного ряда нормальны в G).

4

Определение 1. Группа G называется разрешимой (класса не выше чем i), если G(I) = {e} для некоторого i.

Замечание 2.

1)Если G абелева группа, то G′ = {e}, поэтому группа G разреши-

мая.

2)Простая группа G, G 6= {e}, разрешима в том и только в том случае, когда |G| простое число (G циклическая группа простого порядка).

3)Группы SN и AN разрешимы при n ≤ 4 и не являются разрешимыми при n ≥ 5.

4)Группа диэдра D2N разрешима.

5)Группа кватернионов Q8 разрешима.

СВОЙСТВА РАЗРЕШИМЫХ ГРУПП

Лемма 2. Если G разрешимая группа (класса не выше чем i) и H подгруппа группы G, то H разрешимая группа (класса не выше чем i).

Доказательство. Так как G(K) H(K), то {e} = G(I) H(I), т. е. H(I) =

{e}.

Лемма 3. Если f : G → H сюръективный гомоморфизм и G разрешимая группа (класса не выше чем i), то H = f(G) также разрешимая группа (класса не выше чем i).

5

Доказательство. Так как f([x, y]) = [f(x), f(y)] и f сюръективный гомоморфизм, то f(G′) = H′, а поэтому H(I) = f(G(I)) = {eH }.

Следствие 2. Если G разрешимая группа (класса не выше чем i) и N G, то фактор-группа G/N разрешимая группа (класса не выше чем i).

Доказательство. Рассмотрим канонический сюръективный гомоморфизм

πN : G → G/N.

Теорема 1. Группа G разрешима тогда и только тогда, когда в группе G существует субнормальная цепь подгрупп

G = G0 G1 G2 . . . GI−1 GI . . . GR = {e}

(это означает, что GI+1 GI для всех i) c абелевыми фактор-группами GI−1/GI для всех i.

Доказательство.

1) Допустим, что группа G разрешимая. Рассмотрим цепь нормальных подгрупп коммутантов (производный ряд коммутантов)

G G′ G′′ . . . G(I) = {e}.

Тогда G(I−1)/G(I) = G(I−1)/[G(I−1), G(I−1)] абелева группа для всех i.

2) Допустим, что существует указанная субнормальная цепь подгрупп с абелевыми факторами. Так как G0/G1 коммутативная группа, то G′ G1. Далее, G′′ = [G′, G′] [G1, G1] G2, поскольку G1/G2 абелева группа. Таким образом, G(I) GI для всех i, и поэтому G(R) GR = {e}, т. е. G разрешимая группа (класса не выше чем r).

6

Следствие 3. Если N нормальная подгруппа группы G, то G разрешимая группа тогда и только тогда, когда N и G/N разрешимые группы.

Доказательство.

1) Если G разрешимая группа, то, как мы уже доказали, N и G/N разрешимые группы.

¯

2) Допустим, что N и G/N = G разрешимые группы. Тогда существуют субнормальные цепи с абелевыми фактор-группами:

группа. Таким образом,

G = G0 G1 G2 . . . GS = N = N0 N1 . . . NR = {e}

субнормальная цепь в группе G с абелевыми фактор-группами, т. е. G разрешимая группа.

Упражнение 2. Любая конечная группа из менее чем 60 элементов разрешима.

Упражнение 3. Если |G| = p2q, q =6 p, то G разрешимая группа.

Замечание 3. Теорема Бернсайда (1904 г.) утверждает, что если p и q различные простые числа, то любая группа порядка pMqN разрешима (m, n ≥ 0).

7

РАЗРЕШИМОСТЬ ГРУППЫ ВЕРХНИХ ТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ

Теорема 2. Группа треугольных матриц G = TN(K) над полем K (т. е. треугольных матриц вида

0 =6 aII K) является разрешимой группой.

Доказательство.

1) Рассмотрим унитреугольную подгруппу H = UTN(K) матриц вида

1. . .

При умножении треугольных матриц их соответствующие диагональные элементы перемножаются, поэтому в матрице A−1BA на (i, i)-м месте

стоит a−II 11aII = 1, т. е. A−1BA H, и поэтому H нормальная подгруппа в G, H G. Это же соображение показывает, что [G, G] H, поскольку

для A, D TN(K) в коммутаторе [A, D] на месте (i, i) стоит элемент

a−II 1d−II 1aIIdII = 1, т. е. [A, D] H. Поэтому фактор-группа G/H абелева и, следовательно, разрешимая.

2) Докажем индукцией по n, что H = HN разрешимая группа. Рассмотрим отображение

F

HN = UTN(K) → UTN−1(K) = HN−1,

при котором если

8

(в силу теоремы о гомоморфизме). Но KER f абелева группа, и следовательно, разрешимая группа. По индуктивному предположению UTN−1(K) разрешимая группа. Тогда и группа H = HN разрешимая.

3) Так как H = UTN(K) разрешимая группа и G/H разрешимая группа, то G = TN(K) разрешимая группа.

9

ЛЕКЦИЯ 11

ПРОСТОТА ГРУППЫ SO3

ГРУППЫ ИЗ ВОСЬМИ ЭЛЕМЕНТОВ

ПОЛУПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ

ГРУППЫ ИЗ 12 ЭЛЕМЕНТОВ

1

ПРОСТОТА ГРУППЫ SO3

В качестве примера использования геометрических соображений для доказательства простоты группы докажем, что группа SO3 проста.

SOn — это группа всех движений евклидова пространства Rn, сохраняющих ориентацию пространства.

В частности, интересующая нас сейчас группа SO3 — это группа движений трехмерного пространства, сохраняющих ориентацию пространства.

Рассмотрим произвольную матрицу A 2 SO3. Если представить ее как комплексную матрицу, то она имеет три собственных значения: 1; 2; 3 (корни характеристического многочлена).

Заметим, что в курсе линейной алгебры доказывалось, что ортогональное пребразование всегда диагонализируемо на C (так как любое подпространство, являющееся ортогональным дополнением к инвариантному, само является инвариантным).

Если — какое-то собственное значение, а v — соответствующий собственный вектор (возможно, с комплексными координатами), то j j = 1 (так как собственный вектор под действием движения не может изменять длину). Значит, возможны следующие корни характеристического многочлена (с учетом того, что их произведение равно единице, и что невещественные корни могут встречаться только в парах со своими сопряженными):

— 1; 1; 1 (и тогда преобразование тождественно);

— 1; 1; 1;

— 1; cos + i sin ; cos i sin .

Таким образом, мы видим, что всегда существует собственный вектор с единичным собственным значением, т.е. прямая, точки которой отсаются на месте при преобразовании A.

2