Lektsii_3_semestra_po_algebre

ЛЕКЦИИ ПО АЛГЕБРЕ

3 СЕМЕСТР

2012–2013 УЧЕБНЫЙ ГОД

БУНИНА ЕЛЕНА ИГОРЕВНА

helenbunina@gmail.com

(ПО ЛЕКЦИЯМ ПРОФЕССОРА АЛЕКСАНДРА ВАСИЛЬЕВИЧА МИХАЛЕВА)

1

Часть 1 — ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГРУПП

ЛЕКЦИЯ 1

ГРУППЫ.

ИЗОМОРФИЗМЫ ГРУПП.

ПРИМЕРЫ ГРУПП.

СТЕПЕНЬ И ПОРЯДОК ЭЛЕМЕНТА ГРУППЫ.

2

НЕМНОГО ИСТОРИИ

•Начало развития теории групп относится к XVIII веку.

•Ж. Лагранж (J. Lagrange, 1771) в “Мемуаре об алгебраическом решении уравнений” рассматривал группы подстановок и их разложения на смежные классы по подгруппам.

•Н. Абель (N. Abel, 1824) и Э. Галуа (E. Galois, 1830) установили связь между свойствами алгебраического уравнения и свойствами группы подстановок на множестве корней уравнения.

•Л. Эйлер (L. Euler, 1761) рассматривал классы вычетов и сравнения, фактически используя разбиения на смежные классы по подгруппе.

•К. Гаусс (C. Gauss, 1801) в своих “Арифметических исследованиях”, рассматривая уравнение деления круга, определил подгруппы его группы.

•А. Кэли (A. Cayley, 1854), классифицируя геометрии, доказал, что всякая конечная группа представима подстановками (т. е. вложима в соответствующую группу подстановок), и пришел к заданию группы образующими и определяющими соотношениями.

•В работах Ф. Клейна с С. Ли (S. Lie) было начато исследование бесконечных дискретных и топологических групп. Трехтомный трактат С. Ли и Ф. Энгеля (F. Engel), 1883—1893, зафиксировал рождение новой области в теории групп — теории групп Ли.

•к концу XIX века была полностью осознана важность теоретико– групповых идей и методов в математике и было выработано современное абстрактное определение группы (Кэли, Ли, Фробениус (F. G. L. Frobenius) и др.).

•Первую книгу по абстрактной теории групп опубликовал У. Бернсайд (W. Burnside, 1897), рассматривающий только конечные группы.

3

•Рассмотрение групп без предположения об их конечности стало общепринятым после выхода в 1916 году книги О. Ю. Шмидта “Абстрактная теория групп”.

•Теория групп за прошедший век расширила области своего применения: механика, физика (квантовая механика, ядерная физика, теория элементарных частиц); кристаллография; спектроскопия; криптография; информатика. В прикладных задачах возникли многие обобщения понятия группы.

ГРУППА — ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА

Определение 1. Непустое множество G с бинарной операцией : G × G → G, (a, b) → a b G для a, b G, называется группой, если:

1)Операция ассоциативна (т. е. (a b) c = a (b c) для всех a, b, c G);

2)Существует нейтральный элемент e G (т. е. g e = g = e g для всех g G);

3)Для каждого элемента g G существует обратный элемент g−1 G (т. е. g g−1 = e = g−1 g).

Замечание 1. Напомним, что нейтральный элемент (при мультипликативной записи называемый единицей группы) единственный. Действительно, если e и e′ — два нейтральных элемента в группе G, то eg = g = ge, e′g = g = ge′ для всех g G. Но тогда

e′ = ee′ = e.

Замечание 2. Обратный элемент g−1 для элемента g G определен однозначно. Действительно, если f, h G — два обратных элемента для g, т. е. fg = e = gf, hg = e = gh, то f = fe = f(gh) = (fg)h = eh = h.

4

Лемма 1. Если G — группа, a, b, c G, то

1)уравнение ax = b имеет, и только одно, решение x = a−1b;

2)уравнение ya = b имеет, и только одно, решение y = ba−1;

3)если ab = ac, то b = c; если ba = ca, то b = c;

4)уравнение axb = c имеет единственное решение x = a−1cb−1;

5)если x2 = x, то x = e;

6)(ab)−1 = b−1a−1; (a1 . . . an)−1 = a−n 1 . . . a−1 1; (a−1)−1 = a.

Доказательство. 1) Ясно, что a(a−1b) = b. Если же ax = b для x G, то x = a−1ax = a−1b.

2) Ясно, что (ba−1)a = b. Если же ya = b для y G, то y = (ya)a−1 = ba−1.

3), 4) и 5) следуют из 1) и 2). 6) проверяется непосредственно.

ИЗОМОРФИЗМ ГРУПП

Хотя изоморфизм групп (как частный случай гомоморфизмов групп) будет детально исследован позднее, в то же время на начальном этапе рассмотрения групп крайне необходимо понимать, какие группы надо считать “одинаковыми”.

Определение 2. Пусть G и G′ — группы. Отображение

α: G → G′

называется изоморфизмом, если:

1)α: G → G′ — биекция;

2)α(xy) = α(x)α(y) для всех элементов x, y G (здесь: в левой части xy G с операцией произведения группы G; в правой части α(x)α(y) G′ с операцией произведения группы G′).

При этом говорят, что условие 2) означает, что биекция α: G → G′ согласована с операциями групп G и G′.

5

изоморфизм (действительно, для любых u = α(x), v = α(y) G2, x, y G1:

Из определения изоморфизма групп ясно, что любое свойство группы G, выраженное в ее мощности и ее групповой операции, также вы-

полнено во всех группах G′, изоморфных G′ G группе G. Например,

=

если G G′, α: G → G′ — изоморфизм, то:

=

•если G — конечная группа, то G′ — конечная группа;

•если G — p-группа, т. е. |G| = pk, где p — простое число, то G′ — p-группа;

•если G — коммутативная группа, то G′ — коммутативная группа (если u = α(x), v = α(y) G′, x, y G, то uv = α(x)α(y) = α(xy) = α(yx) = α(y)α(x) = vu).

6

Пример 1. Следующие две группы G и G′ изоморфны:

Действительно, пусть f : G → G′ — биекция, где f(1) = 0, f(−1) = 1. Так как

f(1 · 1) = f(1) = 0 = 0 + 0 = f(1) + f(1),

( )

f((−1) · 1 =)f(−1) = 1 = 1 + 0 = f(−1) + f(1),

f(−1) · (−1) = f(1) = 0 = 1 + 1 = f(−1) + f(−1),

( )

f1 · (−1) = f(−1) = 1 = 0 + 1 = f(1) + f(−1),

то

f(x · y) = f(x) + f(y)

для всех x, y G, таким образом, f — изоморфизм групп G и G′. Заметим, что в этом примере выбор для биекции f : G → G′ был не велик: так как изоморфизм переводит нейтральный элемент в нейтральный, то мы обязаны положить f(1) = 0; но тогда f(−1) обязано быть

равным 1.

ПРИМЕРЫ ГРУПП

1. Целые числа Z, рациональные числа Q, действительные числа R, комплексные числа C с операцией сложения, при этом никакие две из

групп (Z, +), (Q, +), (R, +) не являются изоморфными, однако (R, +)

=

(C, +) (поскольку dimQ R = dimQ C).

Заметим, что: а) натуральные числа N с операцией сложения группой не являются (отсутствует нейтральный элемент); б) натуральные числа с нулем N0 также не являются группой (обратный элемент (в аддитивной

7

записи обычно называемый противоположным элементом) существует только для 0; таким образом, например, 1 уже не имеет обратного элемента).

2.Q = Q \ {0}, R = R \ {0}, C = C \ {0} (K = K \ {0} для любого поля K) относительно умножения являются группами (называемыми

мультипликативными группами соответствующих полей).

3.Линейная(группа )GL n(K) обратимых (n×n)-матриц над полем K

( GL n(K) = U Mn(K) , где Mn(K) — кольцо (n × n)-матриц над полем K). Специальная линейная группа SL n(K) матриц A Mn(K) таких, что |A| = 1.

4.Группа комплексных чисел z C таких, что |z| = 1, с операцией умножения. Группа {z C | zn = 1} комплексных корней n-й степени из 1, n N.

5.Группа подстановок Sn, n ≥ 1; группа четных подстановок An. Для произвольного непустого множества M группа S(M) всех биекций f : M → M с операцией умножения.

Замечание 4. Множество T(M) всех отображений f : M → M с операцией умножения (т. е. композицией) является полугруппой (т. е. множеством с ассоциативной бинарной операцией), но не является группой при |M| > 1 (существуют отображения f : M → M, не являющиеся биекций и, следовательно, не имеющие обратного отображения).

Замечание 5. Полугруппа T(M) коммутативна тогда и только тогда, когда |M| = 1. Действительно, если |M| ≥ 2, то для a, b M, a ≠ b, имеем

fafb = fa ≠ fb = fbfa,

где fc(x) = c для всех x M, c M.

8

Замечание 6. Группа Sn коммутативна тогда и только тогда, когда n ≤ 2 (в частности, группы Sn при n ≥ 3 уже некоммутативны). Действительно, при n ≥ 3 для циклов (1 2), (1 3):

Действительно, если GL n(K) — коммутативная группа, то n = 1 (при n ≥ 2: E + E12, E + E21 GL n(R), но

(E + E12)(E + E21) = E + E12 + E21 + E11 ≠

≠ E + E12 + E21 + E22 = (E + E21)(E + E12))

иU(R) = GL 1(R) — коммутативная группа.

6.Группа симметрий. Пусть V — евклидово аффинное пространство R2 или R3. Под изометрией пространства V понимается биекция α: V → V , сохраняющая расстояние (примеры: переносы; вращения; отражения). Если ≠ X V , то будем говорить, что изометрия α является симметрией множества X, если X = α(X) (= {α(x) | x X}), при этом возможно, что x ≠ α(x). Совокупность Sym(X) всех симметрий α множества≠ X V образует группу (группа симметрий Sym(X), подгруппа группы S(X)).

а) Пусть T — правильный треугольник с вершинами A, B и C, с высотамимедианами LA, LB и LC, с центром описанной окружности O.

Рассмотрим совокупность D3 симметрий правильного треугольника T (т. е. все сохраняющие расстояние отображения f : P → P плоскости P = R2 такие, что f(T ) = T ). С операцией композиции D3 — группа. Рассмотрим ее элементы:

•e = 1P , 1P (x) = x для всех x P ;

•φ1, φ2 — два вращения плоскости P против часовой стрелки, соответственно на углы 120◦ и 240◦;

9