§4. Елементарні функції

Степенева функція: .

Властивості і графік степеневої функції залежить від того, яке значення приймає показник степеня.

1) Якщо , де, тобто- парне натуральне число (дивись рис. 5(а)). Приклади таких функцій: . Графіком функції є парабола, і функція має властивості:

1. область визначення функції – множина дійсних чисел ;

б) область значень – множина невід’ємних чисел ;

в) функція парна;

г) функція монотонно зростає на інтервалі і монотонно спадає на інтервалі;

д) у точці - функція має мінімум.

2) Якщо , де, тобто- непарне натуральне число (дивись рис 5(б)). Приклади таких функцій: .Графіком функції є кубічна парабола і функція має властивості:

а) область визначення функції – множина дійсних чисел ;

б) область значень – множина дійсних чисел ;

в) функція непарна;

г) функція монотонно зростає на всій області визначення;

д) у точці - функція має перегин.

3) Якщо чиде, то графіком функції є гіпербола. Приклади таких функцій: -для випадку , і - якщо .

У першому випадку, вітки гіперболи розташовуються у верхній півплощині, у другому випадку – у першому і третьому координатному куті (дивись рис. 6(а,б).

Лінійна функція: , деі- будь-які постійні числа.

Властивості лінійної функції:

а) область визначення й область значень – нескінченна множина дійсних чисел;

б) графік і властивості функції залежать від значень і.

Стале число називається кутовим коефіцієнтом прямої і залежить від кута нахилуданої прямої до додатного напрямку осі. Якщо кут(кут гострий), то кутовий коефіцієнт додатний (), якщо кут тупий (), то кутовий коефіцієнт має від’ємне значення ();

в) Якщо , то функція зростає на всій області визначення, якщо- функція спадає (дивись рис. 7.)

Лінійними функціями представлені різні закони природи. Скажімо, ізобаричний процес описується формулою, дечи другий закон Ньютона, який може бути записаний у вигляді:.

Показникова функція: ,де - додатне стале число, відмінне від одиниці ().

Властивості функції залежать від значення основи (дивись рис. 8).

1) Якщо, наприклад , ,.

а) область визначення функції – множина дійсних чисел ;

б) область значень – множина додатних чисел ;

в) функція ні парна, ні непарна;

г) функція монотонно спадає на всій області визначення;

д) крива функції угнута.

2) Якщо , наприклад , ,.

а) область визначення функції – множина дійсних чисел ;

б) область значень – множина додатних чисел ;

в) функція ні парна ні непарна;

г) функція монотонно зростає на всій області визначення;

д) крива функції угнута.

Логарифмічна функція: , де- додатне стале число.

1) Якщо, наприклад,.

а) область визначення функції – множина додатних чисел ;

б) область значень – множина дійсних чисел ;

в) функція ні парна ні непарна;

г) функція монотонно спадає на всій області визначення;

д) крива функції угнута.

2) Якщо , наприклад,.

а) область визначення функції – множина додатних чисел ;

б) область значень – множина дійсних чисел ;

в) функція ні парна ні непарна;

г) функція монотонно зростає на всій області визначення;

д) крива функції опукла.

У першому і в другому випадку графіки функції перетинають вісь абсцис у точці (дивись рис. 9).

Тригонометричні функції: .

Функція синус: .

Графіком даної функції є синусоїда (дивись рис. 10).

а) область визначення функції – множина дійсних чисел ;

б) область значень – обмежений інтервал ;

в) функція непарна;

г) функція періодична, з найменшим періодом ().

д) функція монотонно зростає при , де- натуральне число, і спадає при;

е) функція має максимум, що дорівнює одиниці () у точкахі мінімум, рівний мінус одиниці () у точках.

Функція косинус: .

Графіком даної функції є косинусоїда (дивись рис.11).

0

а) область визначення функції – нескінченна множина дійсних чисел ;

б) область значень – обмежений інтервал ;

в) функція парна;

г) функція періодична з найменшим періодом ();

д) функція монотонно зростає при , де- натуральне число, і спадає при;

е) функція має максимум, який дорівнює одиниці () у точкахі мінімум, рівний мінус одиниці () у точках.