13.2. Коэффициент корреляции.

Коэффициент корреляции– это показатель характера взаимного стохастического влияния изменения двух случайных величин. Коэффициент корреляции может принимать значения от -1 до +1. Если значение по модулю находится ближе к 1, то это означает наличие сильной связи, а если ближе к 0 –связь отсутствует или является существенно нелинейной. При коэффициенте корреляции равном по модулю единице говорят о функциональной связи (а именно линейной зависимости), то есть изменения двух величин можно описать линейной функцией.

Процесс называется стохастическим, если он описывается случайными переменными, значение которых меняется во времени.

Коэффициент корреляции Пирсона.

Для метрических величин применяется коэффициент корреляции Пирсона, точная формула которого была выведена Френсисом Гамильтоном. Пусть X и Y – две случайные величины, определенные на одном вероятностном пространстве. Тогда их коэффициент корреляции задается формулой:

.

14.

14.1. Неравенства Чебышева.

Неравенство Маркова.

Неравенство Марковав теории вероятностей даёт оценку вероятности, что случайная величина превзойдёт по модулю фиксированную положительную константу, в терминах её математического ожидания. Получаемая оценка обычно достаточно груба. Однако, она позволяет получить определённое представление о распределении, когда последнее не известно явным образом.

Пусть случайная величина  определена на вероятностном пространстве , и её математическое ожидание конечно. Тогда

,

где a > 0.

Неравенство Чебышёва — Бьенеме. 

Если E[X²] <(E[X²] – математическое ожидание), то для любого, справедливо

15.

15.1. Закон больших чисел.

Закон больших чиселутверждает, что эмпирическое среднее (среднее арифметическое) достаточно большой конечной выборки из фиксированного распределения близко к теоретическому среднему (математическому ожиданию) этого распределения. В зависимости от вида сходимости различают слабый закон больших чисел, когда имеет место сходимость по вероятности, и усиленный закон больших чисел, когда имеет место сходимость почти всюду.

Всегда найдётся такое количество испытаний, при котором с любой заданной наперёд вероятностью частота появления некоторого события будет сколь угодно мало отличаться от его вероятности. Общий смысл закона больших чисел — совместное действие большого числа случайных факторов приводит к результату, почти не зависящему от случая.

Слабый закон больших чисел.

.

Тогда .

Усиленный закон больших чисел.

.

Тогда почти наверное.

16.

16.1. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.

Локальная теорема Лапласа.

Если вероятность p появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность P_n(k) того, что событие A появится в n испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n) значению функции

где x= (k-np)/.

Имеются таблицы, в которых помещены значения функции , соответствующие положительным целым значения аргумента x. Для отрицательных значений аргумента, пользуются теми же таблицами, так как функциячетна, т. е.

Итак, вероятность того, что событие Aпоявится вnнезависимых испытаниях ровноkраз, приближенно равна

P_n(k)

где x= (k-np)/.

Интегральная теорема Лапласа.

Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность P_n(k₁, k₂) того, что событие A появится в n испытаниях от k₁до k²раз, приближенно равна определенному интегралу

где x' = (k₁-np)/,x’’ = (k₂–np)/.

При решении задач, требующих применения интегральной теоремы Лапласа, пользуются специальными таблицами, так как неопределенный интеграл не выражается через элементарные функции.

17.