Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тульский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Полезная литература.pdf

Скачиваний:

112

Добавлен:

16.03.2016

Размер:

9 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 268 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

4.2. РАСЧЕТ ЛОМАНОГО БРУСА

Особенностью ломаного бруса (в сравнении с однопролетной балкой) является наличие в его сечениях продольных усилий, возникающих от поперечной нагрузки.

за рис. 4.13 приведена заданная расчетная схема примера. кис. 4.14 содержит вариант изображения опорных связей, при ко-

тором одной реакции соответствует один опорный стержень. Это помогает определить как количество реакций, так и их характер.

qa2

2qa

a a

Ðèñ. 4.13

Ðèñ. 4.14

за рис. 4.15 вводится система координат, оси которой определяют правило знаков для реактивных сил, заданных своими обозначениями. кеакции до их определения считаются положительно направленными, как это проиллюстрировано на рис. 4.16.

	Y		qa2
		X, Y, Z - глобальная система	qa2
		X, Y, Z - глобальная система
		координат, "привязанная"			a
		к расчетной схеме			a
		к расчетной схеме		q
				q
		B XÇ			X
					B
			a	a	B
					a
A XÄ		X	A	2qa
			XÄ
Z	YÄ		YÄ
Z		Ðèñ. 4.15	Ðèñ. 4.16
		Ðèñ. 4.15	Ðèñ. 4.16

По данным рис. 4.16 назначаются уравнения равновесия (4.5) и

варианты их применения для определения реакций опорных связей.

∑Y = 0;

(1)

(2)

èëè

∑

mom

= 0;

(

)

( )

(4.5)

∑

(

(3)

X = 0.

Далее решение проводится по последовательности первого варианта

уравнений (4.5). Используем первое уравнение последовательности:

∑Y = YA − qa = 0 YA

= qa.

Итак, одна из неизвестных реак-

öèé Y A

найдена и рис. 4.16 трансфор-

qa2

мируется в рис. 4.17, à. Следует обра-

тить внимание на то, что теперь обо-

значение реакции

YA не должно

появляться ни в одном из уравнений,

формируемых далее.

Используем второе уравнение

первой последовательности уравнений

(4.5):

∑ mom A

= −qa

− q

2qa

a Ga

aJ −

− XB a = 0 XB

= −

qa .

qa2

0,5a 0,5a

2qa

2 qa

Ðèñ. 4.17

Заменяя на рис. 4.17, à обозначение реакции X B найденным вектором, получаем рис. 4.17, á, по которому в соответствии с третьим уравнением первой последовательности (4.5) формируем уравнение равновесия для определения реакции XA:

∑X = X A − 52 qa + 2qa = 0 X A = 12 qa.

Итак, реакции опорных связей определены. Это позволяет указать на расчетной схеме все нагрузки в явном виде («в значениях»), что и сделано на рис. 4.17,. âДанные этого рисунка используются для проведения контроля правильности определения реакций опорных связей по уравнению:

∑momë	=	1 qa a − qa a − qa 2 − q a				1 a +	2qa a = 0
		2	1I qa 2	+ F 1	+ 2I qa 2	2
	− F1 +1+		1I qa 2	+ F 1	+ 2I qa 2	≡ 0 .	(4.6)
		G	J	G	J
		H	2K	H 2	K

Для назначения контролируемых сечений на рис. 4.18 выделим четыре участка с линейным законом изменения изгибающего момента (1-2, 3-4, 5-6, 8-9) и один участок – с параболическим законом (6-8).

Сечения 2, 3 и 5 позволяют
учесть наличие внутренних момен-		qa2
тов приходящих в узел с разных	4	qa2
тов приходящих в узел с разных	4
участков, а также факт «игры» про-						a
дольных и поперечных усилий в						a	5
этом узле; сечение 8 позволяет				q			5	qa
этом узле; сечение 8 позволяет		5	6				2	qa
учесть переход продольных сил в	3	5	6				2
поперечные (и наоборот) в этом	2	a	7		8
узле; наконец, сечение 7 дает воз-		a	0,5a	0,5a
узле; наконец, сечение 7 дает воз-						a
можность описать закон параболы						a
по трем значениям ординат момен-							2qa
та на участке 6-8.	1		1 qa		9		2qa
З соответствии с правилом,	1		1 qa		9
З соответствии с правилом,		qa	2
согласно которому эпюра изгибаю-			2
согласно которому эпюра изгибаю-
щего момента строится на растя-			Ðèñ. 4.18

нутых волокнах ( З), при вычислении значений этого момента в контролируемых сечениях будем использовать следующие обозначения:

• «кЗ/З» – для растянутых верхних волокон сечения;

• «çêÇ/	» – для растянутых нижних волокон сечения;
• «ãêÇ/	» – для растянутых волокон поперечного сечения, распо-

ложенных слева от вертикальной оси участка;

• «кЗ/П» – для растянутых волокон поперечного сечения, расположеных справа от вертикальной оси участка.

кис. 4.19 иллюстрирует действия по определению значений ординат и положений растянутых волокон в данном примере.

	4	qa2
	4
					a	5
				q		5
	3	5	6			2 qa
	2	a	7	8
		a	0,5a	0,5a
					a
1				9		2qa
1		Q1-2		9
M	1-2	Q1-2	à
	1-2	N1-2	à
	4	qa2
	4
					a	5
				q		5
	3	5	6			2 qa
M	2	Q2-1	7	8
M	2-1	Q2-1
	2-1	N			a
		2-1			a
		a	0,5a	0,5a
				9		2qa
				9
			á
	4	qa2
	4
		a
M	3	Q3-4
M	3-4	Q3-4
	3-4	N
		3-4	â
			â
		Рис. 4.19 (начало)

∑mom1	= M1−2 − qa2				−
− q a		1		+
− q a	a +	2	a	+
		2
+ 5 qa a = 0				M		= 0.
2				1−2
2

∑mom2		= M2−1 − qa2 −
	+		1		+ 2qa a	= 0
− q a	+		2	a	+ 2qa a	= 0
			2
M2−1		= 1 qa(êÇ/ã).
			2

∑mom3 = M3−4 − qa2 = 0

M3−4 = qa2 (êÇ/ã).

									N4-3	Q4-3
								M4-3	4	Q4-3
								M4-3
														a
												q		5
		1												5
∑mom 4	=	1	qa 2a + M4−3				−	3	5		6			2 qa
∑mom 4	=	2	qa 2a + M4−3				−	2				7	8
		2						2				7	8
	− q a F				1 a + aI − 5 qa a +					a	a	0,5a	0,5	a
				G	2	J	2							a
				H	2	K	2
	+ 2qa 2a = 0								1
M4−3 = −qa 2 (êÇ / ã) .								1	2 qa				9	2qa
								qa				ã
								4	qa2
											a
								3	M5-6
								3	5	N5-6
								2	5	N5-6
		1 qa a − qa 2 + M5−6							Q5-6
∑mom 5	=	1 qa a − qa 2 + M5−6						= 0	1		a
		2							1
M5−6 =		1 qa 2			(êÇ / ç) .			1	2 qa
		2						1
								qa				ä
								4	qa2
													a
								3	5		M6-5
		1						3	5			6	N6-5
∑mom 6	=	1	qa a − qa a −					2				Q6-5	N6-5
∑mom 6	=	2	qa a − qa a −
		2	2
			2										a
	− qa + M6−5 = 0									a			a
	− qa + M6−5 = 0									a
M 6−5=		3 qa 2			(êÇ / ç) .			1	1 qa
		2						1	2
								qa				å
									Рис. 4.19 (продолжение)

6-7 = M 6-5

, так как сечение 6 не имеет дефектов (через него пере-

дается полный набор усилий – M, Q, N) и оно не несет нагрузки в виде

сосредоточенного момента.

qa2

∑mom 7

1 qa a − qa ×

1 a + aI − qa 2

+ q 1 a ×

M7-6

= 0

7 N7-6

× G

aJ + M7−6

H 2

0,5a Q7-6

M7−6 =

(êÇ / ç) .

2 qa

M 7-8 = M 7-6

по тем же причи-

íàì, ÷òî è M 6-7 = M 6-5 .

qa2

1 qa a − qa 2a −

∑mom 8

M8-7

− qa

+ q a 2 a +

8 N8-7

+ M8−7 = 0

M8−7 = 2qa 2 (êÇ / ç) .

0,5a 0,5a

Q8-7

1 qa

M 8-9 = M 8-7

по тем же причи-

íàì, ÷òî è M

6-7

= M6-5 . çà ðèñ. 4.19,

è показана проверка этого факта

путем формирования уравнения

N8-9

8 M

8-9

равновесия для другой части рас-

четной схемы.

Q8-9

2qa

∑mom 8

= 2qa a + M8−9 = 0

M8−9

= −2qa 2 (êÇ / ã) .

Рис. 4.19 (продолжение)

∑mom 9 = −qa 2a − qa 2 +

+ q a 12 a + 52 qa a + + M 9−8= 0

M9−8 ≡ 0.

Найденные ординаты изгибающего момента используются для построения эпюры изгибающего момента на растянутых волокнах (рис. 4.20, à).

4		qa2
4
							a	5
					q			5
3	5		6					2 qa
2		a		7		8
		a		0,5a	0,5a
							a
1			1			9
1			2 qa			9		Q9-8
	qa		2 qa		M	9-8		Q9-8
						9-8	N9-8
				ê			N9-8
				ê
		Рис. 4.19 (окончание)

		4												6		7				8
														6		7				8
1,0			0,5					1,5		2,0		1,5								2,0
0,5	3	5						6		7	8 2,0
	2										8 2,0	Q
														>

												6-
0		Q									1,875		8		0
0															0
<					=
<		5		-6		Q	5>0
1				-6						Q		Q6-8 = Q8-6				> 0
-
2						6-				8							1,875		Q		<0
Q										-									Q
										9									8-6
										=									8-6
=	1							, qa	2		9					M	, qa	2
=										Q
2						M				Q
2
-										9
1										-						6-8
Q										8
Q										<
										0
						à										á
												Ðèñ. 4.20

Вычисление ординат Q i-j эпюры поперечного усилия включает:

• разложение криволинейной эпюры изгибающих моментов каждого участка на линейную часть и параболическую (см. рис. 4.20, );

•вычисление модулей тангенсов соответствующих углов по формулам, которые являются интерпретацией зависимости tgα(M) =

=dM/dx = Q;

•присвоение «инженерного» знака вычисленным значениям (см. рис. 4.20, á).

Для всех участков эпюры изгибающего момента рассматриваемого примера соответствующие действия представлены формулами:

Q1−2

= ± tgM(l1−2)

= −

−

/ a

= −

qa = Q2−1;

0 qa

−4

= ± tgM(l

−4

)

−1

qa2 / a = 0

= Q

− 3

;

(

)

Q5−6

= ± tgM(l5−6)

−

/ a

= +qa = Q6−5;

= +

Q6−8

= ± tgM (l6−8) ± tgM (ò.6)

(4.7)

= +

2 −

/ a

q6−8

l6−8

= +

qa +

q a

= +qa;

Q8−6

= ± tgM (l8−6) ± tgM (ò.8)

= +

2 −

/ a

−

q8−6

l8−6

= +

qa −

q a

= 0;

Q8−9

= ± tgM(l8−9)

= − (2 − 0)qa2 / a = −2qa = Q9−8.

Ïî

результатам

вычислений

(4.7) построена

эпюра

поперечного

0,0

1,0

усилия, изображенная на рис. 4.21.

Вычисление ординат Ni-j ýïþ-

–

ры продольного усилия проводится

на основе данных с эпюры Q

0,5

2,0

включает:

• выявление иерархической

Q , qa

последовательности узлов, содер-

–

жащих не более двух продольных

– +

усилий (первичная последователь-

ность включает узлы 1, 4, 8 и 9; вто-

Ðèñ. 4.21

ричная последовательность вклю-

÷àåò óçåë 2-3-5;

•формирование уравнений равновесия в проекциях на оси глобальной системы координат для каждого из узлов последовательности

ñучетом действующих в узле внешних сосредоточенных сил;

•вычисление ординат продольных усилий в узле и присвоение им «инженерного» знака;

•сравнение усилий на одном и том же участке, полученных из условий равновесия разных узлов (например, проверка равенства уси-

N ëèé 5-8 è N 8-5 , полученных из равновесия узлов 2-5-3 и 8). Указанная последовательность действий, реализованная для рас-

сматриваемого примера, приведена на рис. 4.22.

∑Y = N1−2 + qa = 0 N1−2 = −qa.

∑Y = N4−3 = 0 N4−3 = 0.

∑X = −N8−5 + 2qa − 52 qa = 0

N8−5 = − 12 qa;

∑Y = −N8−9 = 0 N8−9 = 0.

∑Y = N9−8 = 0 N9−8 = 0.

∑X = 12 qa + N 5−6 = 0 N5−6 = − 12 qa.

По результатам вычислений, проведенных на базе данных рис. 4.22 построена эпюра продольных усилий (рис. 4.23).

Нетрудно убедиться, что усилия N 5-8 (вычисленное как N 5-6 ) и усилие N 8-5 совпадают и по знаку и по значению. Обратите также внимание на то, что реакция X B включена в состав сил, обеспечи- вающих равновесие узла 8.

–

1,0

1 qa	N1-2
1 qa		1
2		1
2	1	2 qa
	1	2 qa
à		qa
à

qa2
4
qa2
N4-3
á	5 qa
2qa2 q	5 qa
8	2
N8-5	2qa

â2qa2 N8-9

2qa N9-8

9	2qa
9
ã

			N3-4		qa	1	2
						1	2
	1		qa 2	3	5	2 qa
	2	qa		2		N5-6
	2				1
					1	2
	ä		qa		2 qa
			Ðèñ. 4.22
4
0,0			0,5
			0,5
3
2	5			6	7	8
						0,0
	1		N , qa
	1						9
– +							9
– +
		Ðèñ. 4.23

		qa2
						q		5 qa	0,5a
		5			6			5 qa	0,5a
	3	5			6			2
	3							2
1	2				C	7	8	B	0,5a
1					C	0,5a	0,5a	B
2 qa		1	qa	2				2qa
		4	qa
	qa	4	a				a	qa2
					Ðèñ. 4.24

Контроль правильности определения ординат эпюр усилий для заданной расчетной схемы проводится для произвольной части расчетной схемы (рис. 4.24). Соответствующие уравнения равновесия и вычисления по ним представлены формулами:

∑X = 0,5qa − 2,5qa + 2qa ≡ 0;

∑Y = qa − q a ≡ 0;

∑momC = 0,25qa 2 + 0,5qa 12 a −qa a − qa 2 − q a 12 a +

+ 2qa 12 a + qa 2 = −(1 +1 + 0,5) qa 2 +

+ (0,25 + 0,25 +1 +1) qa 2 ≡ 0;

(4.8)

∑mom B = 0,5qa 12 12 a + 0,25qa 2 − qa 2a − qa 2 +

+q a 12 a + 52 qa 12 12 a + 2qa 12 12 a + qa 2 =

= −(2 +1) qa 2 + (81 + 14 + 12 + 85 + 12 +1) qa 2 ≡ 0.

Уравнения равновесия отрезанной части заданной расчетной схемы удовлетворяются тождественно, что свидетельствует о значи- тельной достоверности проведенных построений.

Стоит обратить внимание на выражение «значительная достоверность», поскольку полную уверенность в правильности полученных результатов может дать только независимое решение этой же задачи другим методом. Ниже, в соответствующих главах учебника, такие методы излагаются – это метод перемещений и метод конечных элементов.

Тем не менее, если проводить все операции промежуточного и итогового контроля, включая те, что отображены в операционном алгоритме, можно утверждать, что в случае положительного итога каждой из предусмотренных контрольных операций уверенность в правильном решения задачи будет близка к 100%.

100

Решение задачи о построении эпюр усилий в ломаном брусе представлено рис. 4.13, рис. 4.20, à, рис. 4.21 и рис. 4.23. Будучи собранными вместе (рис. 4.25), эти рисунки представляют собой собственно ре¯ение задачи, поскольку, в конечном итоге, путь получения необходимых данных (ординат M, Q è N) может быть и иным. А форма решения, представленная на рис. 4.25, содержит все данные, необходимые специалисту для обоснования и принятия проектного решения.

qa2

				q	a
				q
					a
		a		a	2qa
		a		a
			à
	4
	0,0	1,0
+		1,0
+	3				8
–	3				8
–	2	5	6	7
0,5			2,0
		Q , qa			9
	– 1+				9
	– 1+				– +
			â

		4
1,0			0,5				1,5			2,0
0,5	3	5					6			7		8 2,0
0,5	2											8 2,0
2		Q					5	>			8		1,875
0					=					Q
1					=					Q
<		5		-6		Q
-						Q
						6-		0
Q						6-		0
Q											-
											9
=	1					M , qa			2		=Q	9
2									2
-
1											9
Q											-
Q											<
											8
											0
								á

4
0,0	0,5
	0,5

–3

	+ 2 5	6 7 8
	1,0	0,0
	1	N , qa
	1	9
	– +	9
	– +

Ðèñ. 4.25

На рис. 4.26 приведен операционный алгоритм решения поставленной задачи, реализованный в данном примере.

Обратите внимание, что этот алгоритм отличается от операционного алгоритма для балки, приведенного в п. 4.1, лишь операциями, необходимыми для построения эпюры продольного усилия N.

101

102

Виды уравнений

Глобальная

равновесия

Оптимальны

Реакции

система

на плоскости.

координат

й объем

определены

Виды опорных связей ,

(ГСК)

вычислений

верно

их изображения

*А

[l k] = a;

Рис. 4.13.

Рис. 4.14.

Рис. 4.15.

Рис. 4.16.

Ф.4.5.

Рис. 4.17.

Ф. 4.6.

Рис. 4.18.

[q k] = q;

Заданная

Опорные

Система

Определени

Проверка

Система

[P k] = qa;

расчетная

стержни

реакции

нагрузок в

уравнений

е реакций

правильност

нагрузок

[M k] = qa 2. схема (ЗРС)

обозна-

для опорных

опорных

в значениях

чениях

реакций

связей

определения

опорных

реакций

Ошибки в определении реакций

Рис. 4.25.

Поиск и исправление ошибок

Заданная

Эпюры

расчетная

Рис. 4.20,

Рис. 4.20.

Рис. 4.18,

построены

схема.

Рис. 4.18.

рис. 4. 21.

верно

Эпюры M, Q, N.

*А

а.

Номера

Рис. 4.19.

Рис. 4.20,

Рис. 4.20, б.

Ф. 4.7.

Рис. 4.21.

Рис. 4.22.

Рис. 4.23.

Ф. 4.8 ,

контроли-

Определени

а.

Знаки

Опреде-

Эпюра Q

Определени Эпюра N

рис. 4.24.

руемых

е значений

Эпюра M

поперечного ление

е значений

Проверка

сечений

изгибающего

усилия Qi-j

значений Qi-j

Ni-j

правильност

момента Mi-j

и эпюр

Ошибки в определении усилий

Поиск и исправление ошибок

Ðèñ. 4.26

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 268 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.05.201916 Мб49По алфавиту.doc
#
25.08.2019416 Кб17По Бачурской .doc
#
21.08.2019216 Кб23по гму. что-то типа лекций.doc
#
10.05.2015423 Кб56Погрузочная машина 1ППН5.docx
#
18.11.201970 Кб88Подготовка по связи т2.1.doc
#
16.03.20169 Мб112Полезная литература.pdf
#
01.03.20252 Мб11Полинкин ПГ.doc
#
10.05.201525 Кб15Полис.docx
#
13.07.201949 Кб6политич.система США.doc
#
04.11.2018219 Кб5Политическая конфликтология МУ - политологи.doc
#
08.11.2019191 Кб8Политическая конфликтология МУ - социологи.doc