Точечные оценки числовых характеристик

Статистической оценкой параметраQ распределения называется приближенное значение параметра, вычисленное по результатам эксперимента (по выборке). Статистические оценки делятся на точечные и интервальные.

Точечной называется оценка, определяемая одним числом. Точечная оценка параметраQ случайной величины X в общем случае равна , гдеx_i – значения выборки. Очевидно, что оценка – это случайная величина и значениябудут изменяться от выборки к выборке случайным образом. К оценкам предъявляется ряд требований.

1. Оценка называетсясостоятельной, если при увеличении объема выборки n она сходится по вероятности к значению параметра Q:

.

Состоятельность – это минимальное требование к оценкам.

2. Состоятельная оценка называетсянесмещенной, если ее математическое ожидание точно равно параметру Q для любого объема выборки:

.

3. Состоятельная несмещенная оценка являетсяэффективной, если ее дисперсия минимальна по отношению к дисперсии любой другой оценки этого параметра:

.

Состоятельная, несмещенная и эффективная точечная оценка математического ожидания вычисляется как среднее арифметическое значений выборки , называемое выборочным средним:

(10.5)

Состоятельная несмещенная точечная оценка дисперсии равна

(10.6)

Состоятельная несмещенная точечная оценка среднеквадратического отклонения равна

(10.7)

Интервальные оценки числовых характеристик

Доверительным называется интервал

,

в который с заданной вероятностью (надежностью) g попадает истинное значения параметра Q, где - несмещенная точечная оценка параметраQ. Вероятность g выбирается близкой к 1: 0,9; 0,95; 0,975; 0,99.

Согласно центральной предельной теореме, при достаточно большом объеме выборки n () закон распределения несмещенных точечных оценокиможно считать нормальным прилюбом законе распределения случайной величины и доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии могут быть определены по следующим формулам.

Доверительный интервал для математического ожидания имеет вид

(10.8)

где - значение аргумента функции Лапласа, т.е. Ф(z_) = .

Доверительный интервал для дисперсии имеет вид

. (10.9)

Проверка статистических гипотез

Статистической гипотезой называется всякое непротиворечивое мно­жество утверждений относительно свойств распределения случайной величины. Простейшей гипотезой является двухальтернативная:. В этом случае альтернативуH₀ называют нулевой гипотезой, а H₁- конкурирующей гипотезой.

Критерием называется случайная величина , гдеx_i – значения выборки, которая позволяет принять или отклонить нулевую гипотезу _. Ошибка первого рода состоит в том, что будет отклонена гипотеза _, если она верна («пропуск цели»). Вероятность совершить ошибку первого рода обозначается  и называется уровнем значимости. Наиболее часто на практике принимают, что  = 0,05 или  = 0,01.

Критериями согласия называются критерии, используемые для проверки гипотез о предполагаемом законе распределения.

Гипотеза о законе распределения выдвигается следующим образом.

1. Построить по вариационному ряду график эмпирической функции распределения и гистограммы по интервальным статистическим рядам (равноинтервальному и равновероятностному).

2. По виду графиков выдвинуть двухальтернативную гипотезу о предполагаемом (гипотетическом) законе распределения:

–величина X распределена по такому-то закону:

–величина X не распределена по такому-то закону:

где – плотность и функция распределения гипотетического закона распределения.

График эмпирической функции распределения должен быть похож на график функции распределения гипотетического закона, а гистограммы на график плотности гипотетического распределения . Ниже приведены графики и аналитические выражения плотности и функции распределения для часто встречающихся на практике законов.

Равномерное распределение имеет непрерывная случайная величина Х, если ее плотность вероятности в некотором интервале а; b] постоянна:

(10.10)

где а, b – параметры распределения (b > a).

Графики плотности и функции равномерного распределения при a = 1 и b = 3 показаны на рис. 10.1:

Рис. 10.1

Экспоненциальное распределение имеет непрерывная случайная величина T, принимающая только положительные значения, если ее плотность вероятности и функция распределения равны:

(10.11)

где  – параметр распределения ( >0).

Графики плотности и функции экспоненциального распределения при  =1 показаны на рис. 10.2:

Рис. 10.2

Нормальное распределение (распределение Гаусса) имеет непрерывная случайная величина Х, если ее плотность вероятности и функция распределения равны:

,, (10.12)

где m, σ – параметры распределения ( σ >0),

—функция Лапласа.

Графики плотности и функции нормального распределения при m =0, σ =1 показаны на рис. 10.3:

Рис. 10.3

3. Вычислить точечные оценки математического ожидания и дисперсии и, используя метод моментов, определить оценки неизвестных параметров гипотетического закона распределения, где – число неизвестных параметров гипотетического закона распределения.

Оценки неизвестных параметров а, b равномерного распределения можно определить по формулам

(10.13)

или

(10.14)

где – первое и последнее значение вариационного ряда соответственно.

Оценку неизвестного параметра  экспоненциального распределения можно определить по формуле

(10.15)

Оценки неизвестных параметров нормального распределения можно определить по формулам:

(10.16)

4. Проверить гипотезу о предполагаемом законе распределения при помощи критерия согласия.

Критерий согласия Пирсона () – один из наиболее часто применяемых критериев. Алгоритм проверки гипотезы о предполагаемом законе распределения следующий.

1. По интервальному статистическому ряду (равноинтервальному или равновероятностному) вычислить значение критерия по формуле:

, (10.17)

где – объем выборки;

M – число интервалов интервального статистического ряда;

–частота попадания в j-й интервал;

–количество чисел в выборке, попадающих в j-й интервал;

p_j – теоретическая вероятность попадания случайной величины в j- й интервал при условии, что гипотеза верна:

. (10.18)

где ,– плотность и функция распределения гипотетического закона распределения.

При расчете p₁ и p_M в качестве крайних границ первого и последнего интервалов A₁, B_M следует использовать теоретические границы гипотетического закона распределения.

Если проверяется гипотеза о равномерном законе распределения, то ,, а гипотетическая функция распределения будет иметь следующий вид (см. (10.10) и (10.14)):

(10.19)

и теоретические вероятности попадания в интервалы будет вычисляться по формуле

(10.20)

Если проверяется гипотеза об экспоненциальном законе распределения, то ,, и гипотетическая функция распределения будет иметь вид (см. (10.11) и (10.15)):

(10.21)

а теоретические вероятности попадания в интервалы будет вычисляться по формуле:

(10.22)

Если проверяется гипотеза о нормальном законе распределения, то ,, и гипотетическая функция распределения будет иметь вид (см. (10.12) и (10.16)):

(10.23)

а теоретические вероятности попадания в интервалы будет вычисляться по формулам:

(10.24)

При правильном вычислении вероятностей должно выполняется контрольное соотношение.

Величина распределена по закону, который называется распределением. Данное распределение не зависит от закона распределения величиныX, а зависит от параметра k, который называется числом степеней свободы.

2. Из таблицы распределениявыбирается критическое значение, гдеa - заданный уровень значимости (a = 0,05 или a = 0,01), а k - число степеней свободы, которое определяется по формуле:

(10.25)

где M – число слагаемых в формуле (10.17), т.е. число интервалов интервального статистического ряда,

s - число неизвестных параметров гипотетического закона распределения, значения (для равномерного закона , экспоненциального , нормального ).

3. Если значение , вычисленное по выборочным данным на шаге 1, больше, чем критическое значение, т.е. , то гипотезаотклоняется, в противном случае нет оснований ее отклонить.

Критерий согласия Колмогорова. Алгоритм проверки гипотезы о предполагаемом законе распределения следующий.

1. На основании эмпирической функции распределения вычислить значение критерия Колмогорова

(10.26)

где – объем выборки;

–максимальный модуль отклонения эмпирической функции распределения от гипотетической функции распределения , определенный по всем n значения x_i исходной выборки.

Значение Z с достаточной точностью может быть определено по графикам функций и , которые стоят в одной системе координат на масштабно-координатной бумаге («миллиметровке»). Для построения графика достаточно рассчитать значения функции в 10...20 равноотстоящих точках, которые затем соединить плавной кривой.

Величина λ распределена по закону Колмогорова, который не зависит от закона распределения величины X.

2. Из таблицы распределения Колмогорова выбрать критическое значение ,, гдеa - заданный уровень значимости (a = 0,05 или a = 0,01).

3. Если значение l, вычисленное на шаге 1, больше, чем критическое значение, т.е. l > l_g , то гипотеза отклоняется, в противном случае нет оснований ее отклонить.