физика механика

§6. Связь кинематических характеристик поступательного и вращательного движений

● Связь радиус-вектора dr и угла поворота dϕ для

материальной точки, вращающейся по окружности радиуса

R

Сравнивая выражения (1.5) и (1.21), получаем явные выражения для тангенциального и нормального ускорений:

- 31 -

Теперь мы можем, очевидно, ответить на вопрос, поставленный в начале этой главы. С одной стороны, движение точки по окружности можно описывать любыми кинематическими характеристиками в зависимости от того, какие физические величины присутствуют в условии задачи и какие удобны нам, чтобы ответить на поставленный вопрос задачи. В зависимости от характера выбранных физических величин рассматриваемая точка участвует либо в поступательном, либо во вращательном движении, либо в том и другом. С другой стороны, опираясь на определения поступательного и вращательного движения, вводимые для тела, корректно на поставленный в начале главы вопрос ответить нельзя.

***** Глава1. §6 *****

- 32 -

Глава2.

Динамика9

§1. Основные понятия динамики10

В основе классической механики лежат законы Ньютона. Поэтому ее часто называют ньютоновской механикой.

● Динамика

Раздел механики, изучающий всевозможные взаимодействия тел, а также влияния таких взаимодействий на их механическое движение.

Механическое действие на данное тело со стороны других тел проявляется двояко. Оно способно вызывать, во-первых, изменение состояния механического движения рассматриваемого тела, и во-вторых, − его деформацию. Оба эти проявления действия силы могут служить основой для измерения сил. Что же такое силаr?

● Сила F

Векторная величина, являющаяся мерой механического действия на рассматриваемое тело со стороны другого тела. Механическое взаимодействие может осуществляться как между непосредственно контактирующими телами, так и между удаленными телами. Взаимодействие между удаленными телами осуществляется посредством создаваемых ими гравитационных и электромагнитных полей11.

Сила F полностью определена, если заданы ее модуль, направление и точка приложения.

Прямая, вдоль которой направлена сила, называется линией действия силы. Если тело абсолютно твердое, то действие

9РАЗДЕЛ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ (см. главу 0)

10Рассматриваемые далее понятия применимы как динамике материальной точки, так и

кпоступательному и вращательному движению тела

11Поле – особая форма материи, связывающая частицы вещества в единые системы и передающая с конечной скоростью действия одних частиц на другие

-33 -

Силы, действующие на систему со стороны внешних тел.

● Внутренние силы

Силы, действующие между телами рассматриваемой системы.

● Масса материальной точки m

Положительная скалярная величина, являющаяся мерой инертности этой точки (под действием силы материальная точка изменяет свою скорость не мгновенно, а постепенно) и обладающая следующими свойствами:

9независимость от состояния движения;

9аддитивность (масса системы равна сумме масс входящих в нее материальных точек);

9неизменность массы замкнутой системы (закон сохранения массы).

●Центр масс (центр инерции) системы материальных точек

Такая точка С, радиус-вектор которой rC равен

● Импульс (количество движения) материальной точки pi

Векторная величина, являющаяся мерой механического движения, равная произведению ее массы mi на скорость υi :

(2.3) pi = m υi .

● Импульс системы материальных точек p

Векторная величина, равная произведению массы всей системы на скорость ее центра масс:

(2.4) p = m υC .

***** Глава2. §1 *****

§2. Типы сил

- 35 -

Всовременной физике различают взаимодействия гравитационные, электромагнитные, сильные (ядерные) и слабые (в физике элементарных частиц). В механике рассматривают силы гравитации, упругости, трения. Два последних типа сил имеют электромагнитную природу.

§2.1. Гравитационныесилы

ВXVII веке И.Кеплером экспериментально были установлены три закона, описывающие движение планет:

o все планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце;

o площади, описываемые радиусом-вектором планеты за

равные промежутки времени, одинаковы (закон постоянства секториальной скорости12);

oквадраты периодов обращения T12 и T22 двух любых планет вокруг Солнца относятся как кубы больших

- 36 -

R12 − модуль вектора R12 ;

R12 − единичный вектор выбранного направления;

R12

γ − гравитационная постоянная13.

Знак минус указывает на то, что гравитационные силы – силы притяжения (см. рис. выше).

Согласно закону (2.6) сила тяготения зависит только от положения частиц в данный момент времени, то есть гравитационное взаимодействие распространяется мгновенно, что противоречит выводам специальной теории относительности (СТО) Эйнштейна, созданной в 1905 году. Согласно СТО не существует взаимодействий, превышающих скорость света в вакууме. Кроме того, Ньютон полагал, что тела притягиваются через абсолютную пустоту, то есть без какого-либо контакта или посредника. Наконец, было совершенно непонятно, почему тела притягиваются? Объяснить это явление Ньютон, как оказалось в последствии, был просто не в состоянии.

Между тем физиков все больше интересовали именно причины универсального свойства всех массивных тел притягиваться друг к другу. В XVIII-XIX веках появилось немало механических и электродинамических моделей тяготения, связанных с именами Ж.Лесажа, Декарта, Х.Лоренца и др. Однако все эти модели не могли быть проверены опытным путем или астрономическими наблюдениями.

В 1915 году А.Эйнштейном были сформулированы основные положения общей теории относительности (ОТО), современной физической теории пространства, времени и тяготения. В основе ОТО лежит экспериментальный факт равенства инертной массы, входящей во второй закон Ньютона, и гравитационной массы, фигурирующей в законе всемирного тяготения Ньютона. Заслуга в этом принадлежит венгерскому физику Л.Этвешу (1906 г.). Из этого факта Эйнштейн вывел принцип эквивалентности – неразличимость явлений и связанных с ними законов в гравитационном поле и в ускоренной системе отсчета.

Равенство инертной и гравитационной масс проявляется в том, что движение тела в поле тяготения не зависит от его массы.

13 Числовое значение постоянной впервые было определено английским ученым Г.Кавендишем в 1798 году, измерившим в лаборатории силы притяжения между двумя шарами

- 37 -

При этом тела любой массы в поле тяготения движутся по геодезическим линиям в пространстве-времени, которое, однако, искривлено. Следовательно, геодезические линии – уже не прямые линии. Кривизна же пространства-времени создается источниками гравитационного поля. При этом искривление пространствавремени определяется не только массой вещества, слагающего тело-источник, но и всеми видами энергии, присутствующими в системе (работает закон взаимосвязи массы и энергии – глава 4).

Следует заметить, что создание ОТО Эйнштейном стало возможным только после открытия неевклидовой геометрии Н.Лобачесвским, венгерским математиком Я.Больяй, немецкими математиками К.Гауссом и Б.Риманом. Вот почему Ньютон был просто не в состоянии объяснить гравитацию. После формулирования основных принципов в 1915 году общая теория относительности неоднократно дорабатывалась и дополнялась самим Эйнштейном и другими учеными, в том числе советским ученым А.Фридманом (1965г.). Однако несомненно главное: сегодня ОТО – самая передовая физическая теория тяготения, получившая многочисленные экспериментальные подтверждения, а теория тяготения Ньютона является частным случаем этой теории, когда гравитационные поля достаточны слабы, и метрика пространства-времени мало отличается от евклидовой.

§2.2. Упругиесилы

Упругие силы возникают в теле, испытывающем воздействие других тел или полей, и связаны с деформацией тела. Упругость – особое свойство восстанавливать форму тела после прекращения воздействия.

По экспериментальному закону Гука, сила F , возникающая при упругой деформации x , прямо пропорциональна этой деформации и направлена в сторону ее уменьшения:

(2.7) F = −kxr,

где k −коэффициент жесткости тела (величина, измеряемая отношением силы упругости к вызывающей этой слой деформации).

Знак минус показывает, что сила упругости направлена в сторону уменьшения деформации.

- 38 -

Деформация проявляется в виде удлинения (сжатия), сдвига, изгиба, кручения и т.д. Для описания каждого вида деформации необходимы свои характеристики.

В качестве примера рассмотрим упругую деформацию растяжения (см. рис.). К образцу длиной l0 и площадью

поперечного сечения S приложена растягивающая сила F′. В

образце возникает сила упругости − F . Напряжением называют величину, измеряемую отношением модуля силы упругости к площади поперечного сечения образца (малым изменением площади поперечного сечения пренебрегаем):

(2.8) σ = FS .

Пусть, абсолютное удлинение образца равно l = l − l0 ; относительное удлинение обозначим ε = ll0 . Как следует из

опыта, относительное удлинение образца пропорционально напряжению:

(2.9) ε =ασ ,

где α − коэффициент упругости, численно равный относительному удлинению при единичном напряжении.

Выражение (2.5) – математическое содержание закона Гука для деформации растяжения (сжатия). В общем случае, для любого вида деформации закон Гука состоит в том, что относительная деформация пропорциональна напряжению.

На практике пользуются терминами «предел упругости» – наибольшее напряжение, при снятии которого полностью восстанавливается форма, и «предел прочности» – наименьшее напряжение, начиная с которого происходит разрушение образца. При напряжении, равном пределу прочности, образец переходит в область текучести, где относительная деформация увеличивается без изменения напряжения.

§2.3. Силы трения

Силы трения – тангенциальные силы, возникающие при соприкосновении поверхностей тел и препятствующие их относительному движению.

Измеряя илу F , которая уравновешивает силу трения14 при равномерном движении, можно измерить величину силы трения.

14Прибор, измеряемый силу трения, называется трибометром

-39 -

Опыт показывает, что все силы трения достаточно сложно зависят от скорости относительного движения трущихся поверхностей. В

покоящимися поверхностями, могут принимать любые значения от нуля до некоторого максимума в зависимости от модуля и направления приложенной сдвигающей силы. При этом сила трения покоя равна и противоположна по направлению этой силе.

Для данных двух поверхностей сила трения скольжения оказывается пропорциональной силе нормального давления N , прижимающей поверхности друг к другу ( Fтр ~ N ).