Робоче завдання

2.1. Дано систему рівнянь АХ=В порядку n (табл. 2.1). Розв’язати цю систему за допомогою (для кожного члена бригади різна стратегія):

- метод Гауса з тривіальною стратегією вибору головного елементу;

- метод Гауса зі стратегією окремого вибору головного елементу;

- метод Гауса зі стратегією з визначенням масштабу окремого вибору головного елементу (урівноважуюча стратегія).

Дослідити залежність похибки розв’язку х від похибок коефіцієнтів матриці А.

для чого знайти практичне та теоретичне значення відносної похибки розв’язків, відносну похибку матриці, на основі обчисленої похибки побудувати гістограму.

2.2. Розвя’зати систему рівнянь АХ=В використовуючи LU - розклади матриці А.

Перетворити вектор В за формулами прямого ходу методу Гауса. За допомогою зворотної підстановки знайти розв’язок системи х.

Дослідити залежність похибки розв’язку х від похибки правої частини системи В.

Для дослідження похибки розв’язку від коефіцієнтів в пп1 і 2 треба:

2.3. Обчислити число обумовленості матриці

2.4. Прийняти розв’язок х за точний , обчислити

i=1…n відносних похибок х^і систем АХ^і=В і А¹Х^і=В для п.п.1 та АХ^і=В^і i=1…n для п.п.2, де компоненти векторів В^і обчислюються за формулою

м - величина похибки

2.5. На основі обчисленого вектора d побудувати гістограми. По гістограмах визначити компоненти матриці A і компоненти вектора В, які створюють найбільший вплив на похибку розв’язку.

2.6. Оцінити теоретично похибку розв’язку х^m за формулою, порівняти теоретичну і практичну похибку, пояснити результати.

Приклад розв’язку завдання 2.1.

Знаходимо практичне значення відносної похибки

Знаходимо розв'язки систем

Знайдемо теоретичне значення відносної похибки

Висновки: Як можна бачити з гістограми та розрахунків практичне та теоретичне значення похибки складають 1,096% та 169,354% відповідно. Обґрунтування щодо значення похибок мають аналогічний характер по відношенню до завдання №2.1.

Також потрібно було дослідити залежність похибки коренів від похибки внесеної в коефіцієнти при невідомих. Як можна помітити з розрахунків, внесення похибки розміром 0,055% в коефіцієнти при невідомих призводить до практичної похибки величина якої складає 1,096% в коренях. Тобто практична похибка зростає в 20 раз.

Приклад розв’язку завдання 2.2.

Знайдемо теоретичне значення відносної похибки

Знаходимо практичне значення відносної похибки

Знаходимо розв'язки систем

Висновки: Як можна побачити з гістограми практичне значення похибки при обчисленні коренів системи складає 6,197%, проте, якщо подивитись на теоретичні розрахунки, то можна побачити, що значення похибки складає 412,963%. Виходячи з формули , за якою обчислюється теоретичне значення похибки, можна побачити, що похибка не може перевищувати значення 412,963%. Тепер порівняємо значення похибки отриманої практично та теоретично, як бачимо практична похибка не перевищує теоретичну, що і потрібно було довести. Як бачимо теоретичне значення похибки є дуже великим, це є наслідком того, що число обумовленості матриці є значно більшим за одиницю, тобто. Число обумовленості стверджує про те, що матрицю слід вважати погано обумовленою у випадку. Отже виходячи з формулидля такої системи існують розв’язки, що мають досить високу чутливість до похибок, що вносяться в рівняння.

Також потрібно було дослідити залежність похибки коренів від похибки внесеної в праву частину. Як можна помітити з розрахунків, внесення похибки розміром 0,135% в праву частину системи призводить до практичної похибки величина якої складає 6,197% в коренях. Тобто практична похибка зростає в 46 раз.

Таблиця 2.1.

Варіант	А	В
1	1 0.47 -0.11 0.55 0.42 1 0.35 0.17 -0.25 0.67 1 0.36 0.54 -0.32 -0.74 1	.1.33 1.29 2.11 0.10
2	0.63 1 0.11 0.34 0.17 1.18 -0.45 0.11 0.31 -0.15 1.17 -2.35 0.58 0.21 -3.45 -1.18	2.08 0.17 1.28 0.05
3	0.77 0.04 -0.21 0.18 -0.45 1.23 -0.06 0 -0.26 -0.34 1.11 0 -0.05 0.26 -0.34 1.12	1.24 -0.88 0.62 -1.17
4	0.79 -0.12 0.34 0.16 -0.34 1.18 -0.17 0.18 -0.16 -0.34 0.85 0.31 -0.12 0.26 0.08 0.75	-0.64 1.42 -0.42 0.83
5	-0.68 -0.18 0.02 0.21 0.16 -0.88 -0.14 0.27 0.37 0.27 -1.02 -0.24 0.12 0.21 -0.18 -0.75	-1.83 0.65 -2.23 1.13

6	-0.58 -0.32 0.03 0 0.11 -1.26 -0.36 0 0.12 0.08 -1.14 -0.24 0.15 -0.35 -0.18 0	-0.44 -1.42 0.83 1.42
7	-0.83 0.31 -0.18 0.22 -0.21 -0.67 0 0.22 0.32 -0.18 -0.95 -0.19 0.12 0.28 -0.14 -1	1.71 -0.62 0.89 -0.94
8	-0.87 0.27 -0.22 -0.18 -0.21 -1 -0.45 0.18 0.12 0.13 -0.33 0.18 0.33 -0.41 0 -1	-1.21 0.33 0.48 1.21
9	-0.81 -0.07 0.38 -0.21 -0.22 -0.92 0.11 0.33 0.51 -0.07 -0.81 -0.11 0.33 -0.41 0 -1	0.81 0.64 1.71 1.21
10	-1 0.22 -0.11 0.31 0.38 -1 -0.12 0.22 0.11 0.23 1 -0.51 0.17 -0.21 0.31 -1	-2.7 1.5 1.2 0.17