Метод Ньютона (метод дотичних) Для уточнення наближеного розв’язку рівняння зручно використовуватиметод Ньютона, який також називають методом дотичних.

Нехай знайдене деяке початкове наближення кореня . Розглянемо у точцідотичну (рис. 1) до кривої, що задається рівнянням

.

Рис. 1 Геометрична інтерпретація методу Ньютона (методу дотичних)

Наступне наближення кореня знаходимо як абсцису точки перетину дотичної з віссю х :

.

Аналогічно знаходимо й наступні наближення як точки перетину з віссю абсцис дотичних, проведених у точках ,й т. д. Формула для-го наближення матиме вигляд

,

Наведені міркування справедливі за умови . Для закінчення ітераційного процесу може бути використана умова . Можна також оцінювати близькість двох послідовних наближень: .

Достатня умова збіжності методу Ньютона формулюється теоремою:

Нехай функція визначена і двічі диференційована на відрізку , причому, а похідні та зберігають знак на. Тоді, виходячи із початкового наближення, що задовольняє нерівностіта, можна побудувати послідовність, , збіжну до єдиного нарозв’язкурівняння.

Зразок виконання завдання

Завдання: 1) Розв’язати нелінійне рівняння методом Ньютона з точністю до 0.01.

Розв’язання:

Відокремлення коренів рівняння проводимо аналітично.

Позначимо

Знаходимо похідну :

Знаходимо корені похідної :

Складаємо таблицю знаків функції , покладаючи рівним кореням похідної (критичним значенням функції) та граничним значенням області визначення:

		-1		1
	+	-	-	-	+

Оскільки відбуваються дві зміни знаків, то робимо висновок, що рівняння має два дійсних кореня:

,

Зменшимо якомога проміжки, в яких знаходяться корені:

	-2	-1	1	2
	+	-	-	+

_{Отже, маємо}

, .

Уточнимо один з коренів, наприклад, .

За початкове наближення кореня беремо середину відрізка 

.

Обчислення проводимо за формулою ,й заносимо до таблиці:

0	-1.5	-3.5625	-11.25
1	-1.81667	1.836782	-23.6162	0.316667
2	-1.73889	0.136801	-20.1475	0.077776
3	-1.7321	0.000982	-19.8585	0.00679

Оскільки , то ітераційний процес зупиняється. Можемо прийняти.

Відповідь:

2) Розв’язати нелінійне алгебраїчне рівняння методом бісекції з точністю до 0.01

Розв’язання:

Вище було відокремлено два дійсних кореня заданого рівняння:

, .

Уточнимо другий корінь .

Обчислення заносимо до таблиці:

0	1	2	1.5	-1.3125<0
1	1.5	2	1.75	0.144531>0
2	1.5	1.75	1.625	-0.72437<0
3	1.625	1.75	1.6875	-0.32909<0
4	1.6875	1.75	1.71875	-0.1026<0
5	1.71875	1.75	1.734375	0.018318>0
6	1.71875	1.734375	1.726563	-0.04279<0
7	1.726563	1.734375	1.730469

Оскільки , то ітераційний процес зупиняється. Можемо прийняти

.

Відповідь: