4.3. Определение вероятности

4.3.1. Классическое определение вероятности

Вероятность является одним из основных понятий теории вероятностей. Существует несколько определений этого понятия. Одно из основных – это классическое определение. Это определение применимо в случаях, когда удается выделить полную группу несовместных и равновероятных событий, т.е. элементарных исходов.

Вероятностью события А называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех элементарных исходов:

.

(4.1)

Примеры непосредственного вычисления вероятностей.

Пример 5.

В группе 25 студентов. Из них 10 девушек и 15 юношей. Наугад выбирают одного студента. Найти вероятность того, что выберут юношу.

Решение. Искомая вероятность:

Пример 6.

В группе 15 студентов. Из них 5 девушек и 10 юношей. Выбирают 3 студентов. Найти вероятность того, что из трёх выбранных студентов выберут одну девушку и двух юношей.

Решение. При вычислении вероятности события необходимо обратиться к разделу комбинаторики. Для данной задачи следует подсчитать различные сочетания по формуле (3.3).

Искомая вероятность:

где:

Классическое определение вероятности служит хорошей математической моделью тех случайных экспериментов, число исходов которых конечно, а сами исходы равновозможны и несовместны.

4.3.2. Аксиомы теории вероятностей. Аксиоматическое определение вероятности

Систему аксиоматического обоснования определения вероятности построил А.Н. Колмогоров в 1933 г.

Числовая функция Р(А), заданная на алгебре F – подмножеств пространства элементарных исходов – , называется вероятностью случайного события А, если она удовлетворяет следующим свойствам (аксиомам):

А1 (аксиома 1). Р(а) > 0; AF.

Аксиому 1 можно прочитать: «вероятность случайного события А всегда величина положительная для любого события, принадлежащего подмножеству F.

A2 (аксиома 2). P()=1.

Аксиома 2 может быть сформулирована следующим образом: вероятность достоверного события равна единице.

A3 (аксиома 3). Если AB= то P(AB)=P(A)+P(B).

Аксиома 3 может быть сформулирована следующим образом: если события А и В несовместны, то Р(А+В) = P(A)+P(B).

Как следствие из этих аксиом можно сформулировать далее:

Аксиома 4. Вероятность случайного события есть положительное значение, заключенное между нулем и единицей. 0 < Р(А) <1.

Аксиома 5. Вероятность невозможного события равна нулю. Р(А)=0.

4.4. Теоремы сложения и умножения вероятностей

4.4.1. Сложение вероятностей несовместных событий

Суммой двух событий А + В называется событие, состоящее в появлении события А или В или обоих этих событий.

Теорема 1.Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Р(А+В)=Р (А)+Р (В).

(4.2)

Данную строку можно прочитать следующим образом: вероятность появления события А или В, или обоих этих событий равна сумме вероятностей этих событий. Запись Р(А)+Р(В) можно представить в виде: Р(А)Р(В).

Для нескольких несовместных событий формула (4.2) имеет вид:

Р(А1+ А2+ … + Аk) = Р(А1) + (А2) +…+ Р(Аk).

(4.2а)

Теорема 2. Сумма вероятностей всех событий, образующих полную группу, равна единице.

Р(А1) + (А2) +…+ Р(Аk) = 1.

(4.3)

Пример 7.

Студент после занятий может пойти: домой с вероятностью р₁=0,4, в библиотеку с вероятностью р₂=0,1, в спортзал с вероятностью р₃=0,2 и в кино с вероятностью р₄=?. Определить р₄.

Решение.

Эти четыре события несовместны и образуют полную группу. Сумма вероятностей событий p₁,p₂,p₃равна:

р₁+р₂+ р₃=0,4 +0,1+0,2=0,7.

По формуле (4.3) получим p₄=1-0,7=0,3.

Теорема 3.Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

.

(4.4)

Если вероятность события Р (А) обозачить через p, а события Р(А) через q, то формулу (4.4) можно записать в виде:

p + q = 1.

(4.5)

Пример 8.

Студент может сдать экзамен с вероятностью р=0,9. Какова вероятность, что студент не сдаст экзамен?

Решение.

Эти два события противоположны и образуют полную группу.

Вероятность появления одного из двух несовместных событий из (4.5) равна: q = 1–р = 0,1.