2. Логічні операції еом (срс)

Усі пристрої ЕОМ складаються з елементів логічних схем. Робота цих схем заснована на законах і правилах алгебри логіки, що оперує двома поняттями: істинності і хибності висловлення. Відповідно до такої двійкової природи висловлень умовилися називати їх логічними двійковими змінними і позначати 1 у випадку істинності і 0 у випадку хибності. Прикладами логічних змінних є висловлення: А = “Земля плоска”, У = “Автомобіль має двигун”.

На підставі цих висловлень можна записати А = 0; У = 1, тому що висловлення А помилкове, а висловлення В істинно.

Висловлення можуть бути простими і складними: прості містять одне закінчене твердження, складні утворяться з двох чи більшого числа простих висловлень, зв'язаних між собою деякими логічними зв'язками. Формалізація і перетворення зв'язків між логічними змінними здійснюється відповідно до правил алгебри логіки, називаною алгеброю Буля (англійський математик).

Дві логічні змінні А и В, що приймають значення 0 чи 1, можуть утворювати логічні функції. З 16 можливих функцій двох змінних найбільший практичний інтерес представляють функції заперечення, логічного множення і логічного додавання.

Логічне заперечення НЕ змінної А є логічна функція Х, що істинна тільки тоді, коли неправда А, і навпаки.

В алгебрі логіки будь-які функції зручно зображувати у виді таблиці відповідності всіх можливих комбінацій вхідних логічних змінних і вихідний логічний функції, називаною таблицею істинності. Для функції логічного заперечення НЕ ця таблиця має вид

А	0	1
Х	1	0

де А – вхідна змінна, Х – вихідна функція.

Функцію НЕ в символах алгебри логіки записують у такий спосіб:

Х = .

Графічно ця функція позначається кружком на чи вході виході логічного символу.

Приймемо положення перемикача за вхідну змінну і позначимо замкнутий стан ключа логічною одиницею (Х = 0), а розімкнуте – логічним нулем (Х = 0).

Логічне множення И двох змінних А и В є логічна функція Х, що вірна тільки тоді, коли одночасно вірні вхідні змінні. Для функції логічного множення таблиця істинності має вид

А	0	0	1	1
У	0	1	0	1
Х	0	0	0	1

В алгебрі логіки логічне множення И іноді називають конъюнкцией і записують у виді Х = А * У чи Х = АВ. графічно функція И позначається у вигляді прямокутника, усередині якого ставиться символ &.

Логічна АБО сума змінних А и В є логічна функція Х, що істинна, коли хоча б одна з вхідних функцій щира. Для логічної суми таблиця істинності має вид

А	0	0	1	1
В	0	1	0	1
Х	0	1	1	1

 

 Логічна сума в символах алгебри логіки записується так:

Широке поширення одержали в реалізації сучасних логічних схем функції АБО-НІ, І-НІ, що виключають АБО. Таблиця істинності функцій відповідно має вид

А	0	0	1	1		А	0	0	1	1
У	0	1	0	1		В	0	1	0	1
Х = АБО-НІ	1	0	0	0		Х = І-НІ	1	1	1	0

 

А	0	0	1	1
В	0	1	0	1
Х = А+ В	0	1	1	0

У табл. 1.4 приведений повний перелік функцій двох аргументів. Функції, утворені логічними змінними, можна перетворювати відповідно до чи правил законами алгебри логіки. При цьому прагнуть мінімізувати логічне вираження, тобто привести його до виду, зручному для практичної реалізації на логічних елементах.

 

Функції         f0 (X, Y) f1 (X, Y) f2 (X, Y) f3 (X, Y) f4 (X,Y) f5 (X, Y) f6 (X, Y) f7 (X, Y) f8 (X, Y) f9 (X, Y) f10 (X, Y) f11 (X, Y) f12 (X, Y) f13 (X, Y) f14 (X, Y) f15 (X, Y)

Аргументи   Х 0 0 1 1 Y 0 1 0 1   0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1

Позначення функції       0 XY XY X YX Y XY XY XY X~Y YX XY X\Y 1

Назва функції         Константа 0 Конъюкция (логічне І) Заборона по Y (заперечення імплікації) Змінна Х Заборона по Х (заперечення імплікації ) Змінна Y Сума по модулі 2 Диз'юнкція (логічне АБО) Стрілка Пірса (заперечення диз'юнкції) Еквівалентність Заперечення Y (функція НЕ) Імплікація від Y k X Заперечення Х (функція НЕ) Імплікація від Х к Y Штрих Шеффера (заперечення конъюкції) Константа 1

 

Виключна диз'юнкція (також операція XOR, додавання за модулем два) — двомісна логічна операція, що приймає значення «істина» тоді і тільки тоді коли значення «істина» має рівно один з її операндів. Виключна диз'юнкція є запереченням логічної еквівалентності.

Для запису операції використовуються позначення:

^

Виключну диз'юнкцію деколи задають через інші логічні операції, наприклад:

Таблиця істинності виглядає таким чином:

хибність	хибність	хибність
хибність	істина	істина
істина	хибність	істина
істина	істина	хибність

Результат застосування виключної диз'юнкції такий самий як і від додавання за модулем 2. Тому і саму операцію часто називають додаванням за модулем 2.