ekzamen_шпора

19. Важливі границі

1)

Наслідок

2)

з попереднього приклада:

Наслідок

а) a>1

б) 0<a<1 --> 1/a > 1

3)

Оскільки

.

20. Границя функції. Означення за Коші та Гейне. Їх еквівалентність

За Коші (І)

Число А наз. Границею функції f: DR, при хдо a-гранична для D, якщо

(ІІ)

А називається границею функції f(x) за умови xa, якщо для .

За Гейне (ІІІ)

Число А назив. Границею функції f: DR, при хдо a-гранична для D, якщо для

Теорема

Визначення І, ІІ, ІІІ – еквівалентні

Доведення

Схема: ІІІІІІІ

1.)ІІІІ

Дано:

Нехай – довільна послідовність така, що.Тоді за визначенням границі

ІІІІІ

Дано: для

Припустимо, що умова визначення ІІ не виконується, тобто

Таким чином, маємо послідовність, Що суперечить умові, тобто припущення хибне. ІІІ

Випливає одразу з визначення околів.

21. Границя функції. Локальні властивості ф-ції, що має границю.

Оскльки визначення за Гейне пов'язує границю ф-ції з границею послідовності => всі власт. границь послідовності переносяться на власт. границь ф-ції. А саме :

1) Якщо = AR, то u⁰ в якому f(x) обмежена.

2)Якщо = AR, то вона єдина

Доведення.(від супротивного)

Припустимо, що 2 границі =А, = В, А => u(A) i u(A)u(B) = }

=A =>u₁⁰ (a) : x u₁⁰ (a) => f(x) u(A)

В => u₂⁰(a) : x u₂⁰(a) => f(x) u(В)

Тоді для u₁⁰(a) u₂⁰(a) => xu⁰(a) => f(x) ,

f(x) => u(A)u(B) } -- суперечить умові

Як і для послідовностей має місце :

Якщо (х) - н.м. при х ->а, то

1) (х) = н.м. при х ->а ; 2) -- локально обмеженої при х ->а * = н.м.

Наслідок 1

1) Сума n нескінченно малих при х ->а є н.м.

2)

c = н.м. при х ->а

1)f(x), g(x) -- неск. великі при х ->а одного знаку, то f(x)+ g(x) - н.в. при х ->а

2)Якщо f(x) - н.в. при х ->а , а g(x)-- локально обмежена при х ->а , то f(x)+ g(x) = н.в.

3) f(x), g(x) -- неск. великі при х ->а f(x)*g(x)= н.в. при х ->а

4)якщо f(x) - н.в., а g(x) така що М>0 і u⁰(a): g(x)М, xu⁰(a), то

f(x)*g(x) - н.в. при х ->а

22.Границя складної (композиції) ф-цій

нехай x₀,y₀ -- граничні точки, для множин Х,Y відповідно f: X->Y така, що =y₀

=A Тоді ,якщо u_Y⁰(y₀) u_X⁰(x₀) такий, що f(u_X⁰(x₀) u_Y⁰ (y₀) , то == = A

Доведення

=A =>: u⁰_у(y₀): g(u_y(y)u(A)

За умовою u_X⁰(x₀): f(u_X⁰ (x₀)(u_Y⁰ (y₀)=> ∀x∈u⁰(x₀) маємо f(x)=y∈ u⁰(y₀)=>

g(f(x)) = g(y) u(A) =>(x) = g(f(x))u(A) => = А =

23. Власт. н.м. ф-цій Арифметичні власт. границі ф-ції

Якщо (х) - н.м. при х ->а, то

1) (х) = н.м. при х ->а ; 2) -- локально обмеженої при х ->а * = н.м.

Наслідок1

1) Сума n нескінченно малих при х ->а є н.м.

2)

c = н.м. при х ->а

Лема

= AR f(x) = A + , де -- н.м.(x-->a)

Доведення

= AR> : 0 : 0 => |f(x)-A|<, або позначивши

f(x) - A; || < -- н.м. при х-

Використовуючи лему отримуємо: арифметичні власт. ф-цій, які мають границі:

Якщо =А; В, то:

1) g(x))= A+B = +

2) g(x))= AB = *

3)Якщо g(x)0, B, то g(x))= А/В = /

Наслідок

Якщо =А_i , i=(0...n), то:

1)= A₁ + A₂ +...+A_n

2)= A₁ * A₂ *...*A_n

3)N , =()^k

4) , =c*

24. Перша чудова границя

) = 1

Доведення

Область визначення - D:R/{0}

- ф-ція парна ;

f(-x) = = = можна розглядати тільки х0

|AD|= sin x, |OD| = cos x

S_OCD<S_OAB<S_{дуги OAB} , S_сек < R²* , *х*cos²x< <x

Ділимо на >0

cos² x <<1 , 1-sin²x<<1 => --> 1

25. Друга чудова границя

^x = e

Доведення

Розглянемо 1-й випадок

1) х -> , нехай Х = (0;) , Y=Z, f: X->Y за правилом f(x)=[x]= sup(y Z(y)

при х -> => f(x)-> , x-1[x]

u_Y( = (n; , > n ; f(u(B;))u_Y()

Умови теореми про границю композицій при х₀=у₀= виконані

В якості ф-ції g(y) візьмемо g₀,g₁.g₂ : Z->R

g₀(n)= (1+)ⁿ , g₁(n)= (1+)ⁿ , g₂(n)= (1+)ⁿ⁺¹

ⁿ = e

₁(n)=ⁿ= ^{n* *(n+1)} = =e

₂(n) =ⁿ⁺¹ = )=ⁿ *)== e*1=e

тоді :

(x))=(x))=(x))=e

Але маємо:

(1+)^[x] (1+)^x(1+)^[x]+1 =>(1+)^x --> e

26.Відношення О-велике, о-мале. Еквівалентні нескінченно малі, теорема про заміну в границях.

Визначення1

Кажуть, що ф-ція f(x) є н.м. відносно ф-ції g(x) при x->a, якщо f(x)=(x)*g(x), де (x)- н.м. при x->a , позначення f(x) = o(g(x)) при x->a

Визначення2

Якщо, u⁰(a) і обмежена в цьому окілі ф-ція (х) така, що f(x)=(х)*g(x), то кажуть , що f(x)=O(g(x)) при x->a

Властивості :

1) Якщо = A ; A0; A

то при x->a ; f(x)= O(g(x)) g(x)= O(f(x))

Доведення

= А => -- обмежена в u⁰(A)

f(x)= *g(x) = O(g(x))

A0 => = ; 0;

g(x)= *f(x) = O(f(x))

2) Якщо при х->а ; f(x)=O(g( (x))); g(x)=O(h(x))=> f(x)= O(h(x))

Доведення

₁(х), ₂(х) -- обмежені в u⁰(a): f(x) =₁(х)* g(x) i g(x)=₂(х)*h(x)=>

f(x) =₁(х)*₂(х)*h(x)

f(x)=₁(х)(₂(x))*h(x)=h(x)=>

f(x)=O(h(x))

3) При х->a O(o(f(x)))=o(O(f(x)))=o(f(x))

Доведення

(х) - н.м. і (х) - обмежена при х->a такі , що :

О(о(f(x))) = O((x)*f(x))=(x)((x)*f(x))= (x)*f(x)= O(o(f(x)))=o(f(x))

Аналогічно: o(O(f(x))) = o(f(x))

Еквівалентні малі(визначення)

Якщо f(x)=g(x) i =1, то кажуть, що при х->a f(x) еквівалентна g(x) і позначають : f(xg(x) при х->a

Теорема

Якщо f₁(x)g₁(x), f₂(x)g₂(x) при x->a, то

1)(f₁(x)* f₂(x))=(g₁(x)* g₂(x))

2)()=(

коли хоча б ліва або права границя існують

Доведення

За умовою f₁(x)g₁(x), f₂(x)g₂(x) при x->a => ₁(x)₂(x)=> f₁(x)=₁(x)g₁(x);

f₂(x)= ₂(x)*g₂(x) при чому ( ₁(x))=( ₂(x))=1

Припустимо, що () = A. Тоді (=(=A=A

Аналогічно інші випадки.

27.Таблиця еквівалентних нескінченно малих.

1) sin x x ( = 1)

2) tg x x ()=1)

3)arcsin x ( = =()=1)

4) arctg x -- доведення аналогічне

5) ln(x+1) x (===ln e=1)

6)e^x-1 (()={e^x-1 =t; e^x=1+t->xln(1+t)}=()=1)

7)(1+x)^a-1 ()===1)

8)1-cos x (1-cos x=2sin² ()2()² =

28.Неперервні функції. Різні означення. Локальні властивості неперервних функцій.

Нехай х₀ D -- гранична для D f:D->R назив. неперервною в т. х₀ , якщо (f(x))=f(x₀)

З власт. границь ф-цій =>

Якщо, f(x), g(x) - неперервні в т. x₀ то:

1) f(x)+ g(x)- неперервна в т. x₀

2) f(x)* g(x)- неперервна в т. x₀

3)Якщо g(x)0, то -- неперервна в т. x₀

4) Неперервність композиції ф-цій

Якщо f(x)- неперервна в т. x₀, g(y)- неперервна в т. у₀ =f(x₀), то композиція (gf)(x) - теж неперервна в т.х₀

Локальні власт. неперервних ф-цій. Теорема

Якщо f: D->R - неперервна в т. х₀, то

1)Вона обмежена в деякому окілі u_D(x₀)

2) Якщо f(x₀)0, то в деякому окілі хu

u(x₀): sign(f(x))=sign(f(x₀)); u(а)

Доведення

1) властивість ф-ції , що має скінченну границю

2)Нехай f(x₀)>0 (f(x))=f(x₀) => для =>0 u(x₀): x u(x₀) => |f(x)-f(x₀)|< =>

< f(x)-f(x₀) => f(x)>f(x₀)-=>0

Теорема

Якщо g: X->Y - неперервна в т. х₀ - граничній для Х і f(x₀) = y₀, то gf: X->R теж неперервна в т.х₀

29.Неперервність складної функції. Точки розриву.

Теорема

Якщо g: X->R - неперервна в т. х₀ - граничній для Х і f(x₀) = y₀, то gf: X->R теж неперервна в т.х₀

Точки розриву ф-ції

Нехай f(x) - визначена в деякому u⁰(x₀) , точка x₀ назив. т. розрива ф-ції f(x) якщо:

1) f(x) - невизначена в т. х₀

2)f(x₀), але ф-ція f(x) не є неперервною в т. х₀

Точки розриву поділяються на 2 роди:

Точки розрива х₀ ф-ції f(x) назив. точкою розрива 1-го рода, якщо (f(x))єR і(f(x)) єR , при чому :

1)(f(x))=(f(x))-- усувний розрив

2)(f(x))(f(x))--скінченний стрибок

Якщо хоча б одна з (f(x)),(f(x)) дорівнює , або не існує => т.х_{0 -} точка розриву 2го роду

При чому, якщо існують обидві границі, але хоча б одна з них => розрив 2го роду, нескінченний стрибок, а якщо хоча б одна з них не існує => т.х_{0 -} точка розриву 2го роду, суттєвий розрив