ekzamen_шпора

46.Теорема про залишок формули Тейлора

Якщо на [a;b] f(x) – неперервна і має (n+1) похідну на (a;b), то для ∀g(x) – диференційованої на (a;b) такої, що g’(x) ≠ 0, ∀x ∈ (a;b) ∃c між x i x₀ : , ∀x,x₀ ∈ [a;b]

Доведення Розглянемо функцію: при фіксованих x₀ i x. ; ⇒ ; , ⇒ Для функції F(t) i g(t) виконані умови теореми Коші ⇒ між x₀ i x ∃c таке що: ⇒

Формула Тейлора з залишком в формі Лагранжа

47. Локальна теорема Тейлора

Нехай f(x) - (n+1) диференц. на (a;b), причому ∃M: |f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)| ≤ M ∀x ∈ (a;b) Тоді ∀x, х₀ ∈ [a;b] ⇒ формула Тейлора з залишком у формі Пеано.

Доведення Залишок в формі Лагранжа має вигляд = o = ⇒

48.Формула Тейлора для головних елементарних функція

x₀ = 0 1. 2. 3. 4. 5. Доведення 1. ⇒ ∀k ⇒ ∀k 2. ⇒ ∀k ⇒ ∀k 3. ⇒ ∀k ⇒ ∀k 4. ⇒ ⇒ ∀k ≥ 1 5. ⇒ ⇒ ⇒

49. Необхідні та достатні умови локального екстремуму функції в термінах першої похідної

необхідні Для того щоб точка x₀ ∈ (a;b) була точкою внутрішнього екстремума функції – необхідне виконання однієї з двох умов 1. f(x) – недиференційована в т. x₀ 2. f’(x) = 0;

Доведення Якщо x₀ ∈ (a;b) точка екстремума , то можливі два випадки: 1. f(x) – недиференційована в т. x₀ – виконана умова. 2. f’(x) диференційована в т. x₀ тоді за теоремою Ферма f’(x₀) = 0 ⇒ виконана умова 2.

Точки в яких для f(x) виконано умови 1,2 називаються критичними точками f(x)

достатні Нехай f(x) – диферент. в деякому проколотому околі U(x₀), x – критична для f(x) Якщо f’(x) не міняє знак при переході через т. х₀ то в т. х₀ екстремума немає ∃б > 0 Якщо f’(x) міняє знак через т. х₀ тобто ∃б > 0 то в т. х₀ екстремум є, при чому якщо , - т. х₀ екстремума, якщо , - т. х₀ максимума

Доведення , ⇒ на інтервалі (x₀ - б; х) f(x) спадає, а на інтервалі (x₀; x₀+б) – зростає ⇒ f(x₀) = inf f(x), x є (x₀ - б; х), f(x₀) = inf f(x), x є (x₀; x₀+б) ⇒ f(x₀) = min f(x) – локальний мінімум, x є (x₀ - б; x₀+б) анагалогічно,

51. Достатні умови локального екстремуму функції за першою похідною

Нехай f(x) – диферент. в деякому проколотому околі U(x₀), x – критична для f(x) Якщо f’(x) не міняє знак при переході через т. х₀ то в т. х₀ екстремума немає ∃б > 0 Якщо f’(x) міняє знак через т. х₀ тобто ∃б > 0 то в т. х₀ екстремум є, при чому якщо , - т. х₀ екстремума, якщо , - т. х₀ максимума

Доведення , ⇒ на інтервалі (x₀ - б; х) f(x) спадає, а на інтервалі (x₀; x₀+б) – зростає ⇒ f(x₀) = inf f(x), x є (x₀ - б; х), f(x₀) = inf f(x), x є (x₀; x₀+б) ⇒ f(x₀) = min f(x) – локальний мінімум, x є (x₀ - б; x₀+б) анагалогічно,

52. Достатні умови локального екстремуму функції в термінах вищих похідних

Нехай f(x) визначена в деякому U(x₀) при чому , а . Тоді якщо n=2k+1 то в т. x₀ екстремума немає. Якщо n = 2k то в т. x₀ екстремум є, при чому якщо то т. x₀ – min, то т. x₀ – max

Доведення За теоремою Тейлора

⇒ ∃б > 0 множник зберігає знак Тоді у випадку n=2k+1, міняє знак при переході через х₀ разом з (x-x₀) ⇒ різниця міняє знак при переході через х₀ ⇒ в т. х₀ екстремума немає. При n = 2k, різниця зберігає знак, причому якщо ⇒ т. min, якщо ⇒ т. max

53. Опуклі функції, різновиди означення опуклості

Функція називається опуклою вниз (вверх) на цьому інтервалі якщо i має місце опукла вниз , графік функції знаходиться під хордою опукла вверх – графік функції знаходиться над хордою

Переформулювання визначення опуклості Позначимо через х = (1-a)x₁ + ax₂ = x₁ + a(x₂-x₁). Виразимо a через х . Таким чином нерівність приймає вигляд ; x₂ – x₁ > 0; x – x₁ > 0; x₂ – x > 0; Визначення 2 f(x) опукла вниз (вверх) на інтервалі (a;b) якщо і має місце Строгій нерівності, відповідає строга опуклість

55. Опуклі функції, точки перегину. Умови існування точки перегину.

Якщо і x0 така, що на і на f(x) опукла різного характеру опуклості, то точка х0 називається точкою перегину f(x)

Тверждення

Якщо на (a;b) і х0 (a;b) є точкою перегину f(x) то x0 є критичною для .

доведення

х0- точка перегину f(x)=> за критерієм опуклості в цій точці міняє характер монотонності => це точка екстремума => в цій точці не існує, або =0, тобто, х0-критична для .

Достатня умова точки перегину є зміна знаку при переході через цю точку.

54.Критерій опуклості диференційованих функцій

Диференційована на (a;b) функція f: (a;b)R опукла на (a;b)  її похідна монотонна на (a;b). При цьому, не спаданню функції відповідає опуклість вниз, а незростанню – опуклість вверх. Строгій монотонності похідної відповідає строга монотонність.

доведення

Нехай, для визначеності, розглянемо випадок опуклої вниз функції.

(=>) f(x) – опукла вниз => (з нерівності 2 )

Тоді

З іншого боку, якщо xx2, то

– неспадна на (a;b). Аналогічно показуємо, що в випадку f(x) – опукла вверх => – не зростаюча. Якщо f(x) – строго опукла вниз, то маємо строгу нерівність(крім того, що її похідна неспадна!):

Для f(x) виконані умови теореми Лагранжа, а значить,

-зростаюча.

Аналогічно, для вверх отримуємо, що -спадна

(<=) Нехай f(x)-диференційована на (a;b): - неспадна. Тоді

Аналогічно, для зростаючої функції отримуємо нерівність 2 зі знаком опукла вверх.

Випадок строгої монотонності: якщо - зростаюча, то отримуємо:

Наслідок

Якщо (a;b) опукла вниз на (a;b)

Якщо (a;b) опукла вгору

Якщо (a;b) опукла вниз на (a;b)

Якщо (a;b) опукла вгору на (a;b)

56. Нерівність Йенсена. Наслідок з неї

Якщо f: (a;b)  R опукла вверх (вниз) на (a;b), то для x1,x2,x3…xn (a;b) і для – невід’ємних, таких, що має місце:

Доведення

За методом ММІ:

n=2

– визначення опуклості вверх (вниз).

Нехай для n-1 виконується, тоді для n – маємо:

Нехай для визначеності

Позначимо

,що і треба було довести.

Наслідок

З доведення видно, що якщо і f(x) строго опукла, то знак «=» в нерівності Йенсена може бути лише в випадку х1=х2=…=хn.

57. Асимптоти графіка функції. Схема побудови гр.функції.

Пряма l називається асимптотою кривої на координатній площині, якщо відстань від точок M(x;y) з кривої до прямої l прямує до 0 за умови M(x;y)  0.

І. Вертикальні асимптоти

Це прямі, рівняння яких має вигляд х=х0.

Тоді, для графіка функції y=y(x) пряма х=х0 буде асимптотою тоді і тільки тоді, коли:

Це означає, що вертикальні асимптоти для графіка функції y=y(x) можуть бути тільки в точках розриву ІІ роду, або на границі обл. визначення.

ІІ. Горизонтальні асимптоти

Горизонтальні ас-ти – прямі l: y=b

M(x,y)∞  x±∞ і умова 0 

ІІІ. Вертикальні асимптоти

Прямі, що задаються рівнянням y=kx+b

M(x,y)∞  x±∞

d(M(x,y);l)=|MM2|=|MM1|*sinφ =>d(M,l)=|MM2|0  |MM1|  0.

|MM1|=|y(x)-l(x)|=|y(x)-kx-b|0 тоді

Теорема

l: y=kx+b буде асимптотою для графіка функції y=y(x) тттк

доведення

(=>) y=kx+b – асимптота, тоді

Із умови

(<=) дано: =>=> y = kx+b – асим-а графіка функції. Аналогічно доведення -∞.

Схема побудови графіка.

Область визначення; Парність/непарність, періодичність; Точки перетину з осями координат; Інтервали неперервності, точки розриву, асимптоти; Дослідження за допомоги першої похідної – монотонність; Дослідження за допомогою другої похідної – опуклість; Наносимо на координатну площину характерні точки, точки перегину, асимптоти, будуємо ескіз графіка.

58. Первісна та невизначений інтеграл. Таблиця інтегралів.

F(x) називається первісною функції f(x) на (а;б) якщо

Теорема

Якщо F(x) якає первісною для f(x) на (a;b) то для будь-якої іншої її первісної Ф(х) на (a;b) існує константа така, що Ф(х)= F(x)+С. І навпаки, для будь-якої константи: Ф(х)= F(x)+C буде первісною f(x).

Доведення

1. Ф(х), F(x) – первісні f(x) =>для H(x)= Ф(х)- F(x), маємо: За наслідком з теореми Лагранжа - H(x)=С => Ф(х)- F(x)=C=> Ф(х)= F(x)+С 2. С = const: - теж первісна для f(x)

Визначення

Множина всіх первісних f(x) на (a;b) називається невизначеним інтегралом від f(x) на (a;b) і позначається . f(x) називається підінтегральною функцією.

Таблиця інтегралів

59. Властивості невизначеного інтегралу

Якщо

доведення

За властивостями похідних, похідна

За властивостями похідних, доведення аналогічно до 3.

Заміна змінних: якщо на деякому проміжку (a;b) і – диференційована функція , то

доведення

За формулою похідної складної функції маємо:

Зауваження

За властивістю 5 => якщо, то

Якщо , то

=

Інтегрування за частинами

, якщо – диференційовані.

З властивостей диференціалів: d(uv)=udv+vdu=> udv = d(uv) – vdu =>

60. Інтегрування раціональних дробів

де - многочлени стемені M i N відповідно. Найпростіші дроби ; ; ;

Інтегрування найпростіших

В загальному випадку теорема

Якщо дріб- правильна, тобто m<n і знаменник розкладено на множники, тобто .

То дріб розпадеться на суму найпростіших.

61.Інтегрування тригонометричних виразів.

Нехай R(sin x,cos x) -- раціональний вираз змінних sin x,cos x((sin аx,cos аx)!)

1.Універсальна тригонометрична підстановка

t=tg() => sin x = =

cos x = =

x=arctg(tg)) => 2arctg t => dx= (-π<x<π) =>;)

a)Якщо R(-sin x,-cos x) = R(sin x,cos x) => може допомогти підстановка t= tgx або t=ctg x

cos^2(x) = = ; sin x ==; dx=

б) R(sin x,cos x)= cos^mx * sinⁿx

Можливі випадки:

1) m - непарне (2к+1) => cos^mx sinⁿx dx=(cos^2kx*sinⁿx*cosx)dx=(1-sin²(x))^ksinⁿxd(sinx)={t=sin x}=(1-t²)tⁿdt

2) n-непарне (2к+1) => cos^mx*sinⁿx=cos^mx*sin^2kx*sinx dx = 1-cos^mx(1-cos²x)^k d(cosx)={t=cos x}=

-t^m(1-t²)^kdt

3)m,n -- парні; m=2k; n=2l => sin x*cosx =sin2x; cos²x=; sin²x=

4)sin(cx+b)dx =>застосовуємо ф-ли перетворення добутку в суми:

sina *cosb=1/2(cos(a+b)+sin(a-b)); cosa*cosb=1/2(cos(a+b)+cos(a-b)) sina*sinb=1/2(cos(a-b)-cos(a+b))

63. Нескінченно великі. Їх влст.

1)f(x), g(x) -- неск. великі при х ->а одного знаку, то f(x)+ g(x) - н.в. при х ->а

2)Якщо f(x) - н.в. при х ->а , а g(x)-- локально обмежена при х ->а , то f(x)+ g(x) = н.в.

3) f(x), g(x) -- неск. великі при х ->а f(x)*g(x)= н.в. при х ->а

4)якщо f(x) - н.в., а g(x) така що М>0 і u⁰(a): g(x)М, xu⁰(a), то

f(x)*g(x) - н.в. при х ->а

Зв'язок н.в. і н.м.

якщо f(x) -- н.в. ,а α(x) -- н.м. при х ->а , то = н.м. , а - н.в.

Заув.

Якщо f(x) -- н.в. ,а α(x) -- н.м. при х ->а; f(x)* α(x) -- може бути яким завгодно

62.Інтегрування ірраціональних виразів

1)Якщо підінтегральна фунція містить різні корені даного виразу заміна => ax+b=t^N, N-підбирається

Або =t^N

Диф. Біном

Вираз під інтегралом – це диф.біном(m,n,p – раціональні числа)

1)p-ціле, підстановка x=t^N,де N таке щоб добувалися корені заховані в n

Приклад:

m=0,n=4,p=-1/4 – не ціле.

2)m+1/n=1/4 не ціле

3)m+1/n+p=0 ціле

;