Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

b

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2016

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 145 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

	v(x, y)= v0 (x, y)+ ∑∞ Bm vm (x, y).			(3.1.6)
		m=1		u0(x,y),
Как и в случае пространственной задачи, функции
v0(x,y)	должны удовлетворять неоднородным, а функции			um(x,y),
vm(x,y)	- однородным кинематическим граничным условиям.
Неизвестные коэффициенты		Ат, Вт	определяются из

системы алгебраических уравнений, получаемой в результате подстановки решения (3.1.6) в функционал полной энергии деформаций плоской задачи теории упругости (2.1.26) и дифференцирования по параметрам Аn, Вn. В результате получим систему алгебраических уравнений:

	∑∞ (anmA Am + bnmA Bm )= dnA ,
m=1		n = 1, 2, 3,…	(3.1.7)
	∑∞ (anmB Am + bnmB Bm )= dnB ,

m=1

∂um

∂un

1 −

∫∫

ν ∂um ∂un

где anm

∂x ∂x

∂y ∂y

dA ;

∂vm ∂un

∫∫

−ν ∂vm ∂un

bnm =

ν1

∂y ∂x

2 ∂x ∂y

dA ;

−ν1

∂um ∂vn

anm

∫∫

∂x ∂y

dA ;

2 ∂y ∂x

∂vm

∂vn

1 −ν1 ∂vm ∂vn

bnm =

∫∫

∂y ∂y

∂x ∂x

dA ;

dnA =

1 −ν

∫∫X undA + ∫Xν un dL −

Lσ

∂u

∂v

∂u

1−ν

∂u

∂x

+ 2ν1

∂y

∂x +

− ∫∫

∂y

dnB =

1 −ν 2

∫∫Y vndA +

∫Yν vn dL

−

Lσ

− ∫∫A ∂∂vy0 + 2ν1 ∂∂ux0 ∂∂vyn +1−2ν1 ∂∂uy0 + ∂∂vx0

+ ∂∂vx0 ∂∂uyn dA ;

∂vn dA . (3.1.8)

∂x

Решив систему алгебраических уравнений (3.1.8), вычисляем перемещения на основе формул (3.1.7). Деформации и напряжения вычисляются с привлечением уравнений деформаций (2.1.17) и закона Гука (2.1.18,а).

3.2.Метод Канторовича−Власова.

Вотличие от метода Ритца−Тимошенко, метод Канторовича−Власова приводит задачу к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, т.е. сводит пространственную или плоскую задачу теории упругости к одномерной. Метод

Канторовича−Власова обычно применяется к призматическим телам, ограниченным плоскостями х1, х2 = const, перпендикулярными оси х.

а) ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА

Решение метода Канторовича−Власова принимается в виде:

			∞
	u( x, y,z ) = u0 ( x, y,z ) + ∑Am ( x )um ( y,z ),
			m=1
			∞
	v( x, y,z ) = v0 ( x, y,z ) + ∑Bm ( x )vm ( y,z ),
			m=1
			∞
	w( x, y,z ) = w0 ( x, y,z ) + ∑Cm ( x )wm ( y,z ) ,					(3.2.1)
			m=1
где	u0(x,y,z),	v0(x,y,z), w0(x,y,z)	- функции,		удовлетворяющие
неоднородным		кинематическим	граничным		условиям; um(y,z),
vm(y,z), wm(y,z)		- функции переменных		у, z,	удовлетворяющие
однородным		кинематическим	граничным		условиям		на
поверхности Su, кроме плоскостей х = х1				и х = х2; Аm(х), Bm(х),
Cm(х)	- неопределенные функции аргумента				х, выполняющие в

методе Канторовича−Власова роль, которая соответствует роли неопределенных коэффициентов Аm, Вm, Сm в методе Ритца −Тимошенко.

Для определения неизвестных функций Аm(х), Вm(х), Сm(х), используем соотношения (2.2.6) метода возможных перемещений, полученные при доказательстве принципа Лагранжа, записанные через функции перемещений:

(λ + µ)

∂θ

∫∫∫

+ X δu dΩ = 0

∂x

Ω

(λ + µ)

∂θ

µ 2v

+Y δv dΩ = 0

∫∫∫

∂y

Ω

∂θ

∫∫∫ (λ + µ)

w + Z δwdΩ = 0 ;

(3.2.2)

∂z

Ω

∫∫ (σ x l +τxy m +τxz n − Xν )δu ds = 0 ,

Sσ

∫∫ (τ yx l +σ y m +τ yz n −Yν )δv ds = 0 ,

Sσ

∫∫ (τzx l +τzy m +σ z n − Zν )δwds = 0 .

(3.2.3)

Sσ

Варьируя функции

u, v,

w и учитывая, что варьируются

только неопределенные функции

Аm(х), Вm(х), Сm(х), получим:

∞

δu( x, y,z ) = ∑um ( y,z )δAm ( x ) ,

m=1

∞

δv( x, y,z ) = ∑vm ( y,z )δBm ( x ) ,

m=1

∞

δw( x, y,z ) = ∑wm ( y,z )δCm ( x ).

(3.2.4)

m=1

Подставляя вариацию функции u(x,y,z) в первое уравнение (3.2.2), интегрируя ряд почленно и разделяя в объемном интеграле интегрирование по аргументам х и у, z, имеем:

	(λ + µ)	∂θ	2
∫∫∫			+ µ	u + X δu dΩ =
∫∫∫		∂x	+ µ	u + X δu dΩ =
Ω		∂x

(λ + µ)

∂θ

∞

= ∫∫∫

+ µ

u + X

∑un ( y,z )δAn dΩ =

∂x

Ω

n=1

∞ x2

∂θ

= ∑ ∫

∫∫

(λ + µ)

+ µ

∂x

u + X un ( y,z )dydz

δAn ( x )dx = 0

n=1

A( x )

где

∫∫

интеграл по

площади поперечного сечения

A( x )

призматического тела в точке с координатой х.

Аналогично проводятся преобразования с граничными статическими условиями для соотношений (3.2.3)

∑∞ ∫∫(σ x l +τxy m +τxz n − Xν )un ( y,z )δAn ( x )ds =

n=1Sσ

∞	x2		∫(σ x
= ∑	∫		∫(σ x	l +τxy m +τxz n − Xν )un ( y,z )dL δAn ( x )dx =0	,
n=1 x1		L( x )
где			∫ -	интеграл по контуру сечения призмы	с
			L( x )

координатой х. Интеграл учитывает невязки в выполнении статических граничных условий отдельным членом ряда.

Далее рассматриваются призматические тела, для которых поперечное сечение А и контур L постоянны (не зависят от х), направляющий косинус на контурной поверхности тела l = 0 и слагаемое σ x в контурных интегралах опускается.

Применяя к внешнему интегралу по х основную лемму вариационного исчисления, учитывая независимость функций Аn(х) при различных значениях n, и добавляя аналогичные соотношения для второго и третьего соотношений (3.2.2) и (3.2.3), получим основные функциональные соотношения метода Канторовича−Вла-сова. Соотношения для объемного и поверхностного интегралов при вариациях одноименных функций суммируются, напряжения выражаются через перемещения:

(λ +

µ)

∂θ

∫∫

+ µ

u + X un ( y,z )dydz +

∂x

∂u

∂v

∂u

∂w

m + µ

− Xν un ( y,z )dL = 0 ;

+ ∫ µ

∂y

∂x

∂z

∂x

(λ + µ)

∂θ

∫∫

+ µ

+ X vn ( y,z )dydz +

∂x

∂v

∂w

+ ∫

+ 2µ

n −Yν vn ( y,z )dL = 0 ;

λθ

∂y

m +

∂z

+ ∂y

(λ + µ)

∂θ

∫∫

+ µ

+ X wn ( y,z )dydz +

∂x

∂v

∂w

λθ + µ

+ ∫ µ

∂z

∂y

m +

n − Zν wn ( y,z )dL = 0 ;

∂z

n =1, 2, 3,... (3.2.5)

Если функции u0(x,y,z), v0(x,y,z), w0(x,y,z) и um(y,z), vm(y,z), wm(y,z) удовлетворяют не только кинематическим, но и

статическим граничным условиям на боковой поверхности

призмы, то поверхностные интегралы в соотношениях (3.2.5)

отбрасываются.

функции u(x,y,z),

v(x,y,z),

Подставим в соотношения (3.2.5)

w(x,y,z) в виде рядов (3.2.1), учитывая при этом, что

θ =

∂u

∂v

∂w

∂u0 ( x, y,z ) +

∂v0 ( x, y,z ) + ∂w0 ( x, y,z ) +

∂x

∂y

∂z

∂x

∂y

∂z

∞

′

∂v

( x, y )

∂w ( x, y )

+Cn ( x )

+ ∑ Am ( x )un ( y,z ) + Bn ( x )

∂y

∂z

m=1

Проводя интегрирование для каждого члена ряда и

группировку слагаемых при однотипных неизвестных

Ат(х),

Вт(х), Ст(х)

и их производных, приходим к системе обыкновенных

дифференциальных уравнений:

∞

′′A

′′

′A

′

′A

′

∑

[anm

Am ( x )

+ anm A( x ) +bnm Bm ( x ) +cnmCm ( x )]= dn ( x ),

m=1

∞

′B

′

′′B

′′

∑

[anm Am

( x ) +bnm B ( x ) +bnm Bm ( x ) +cnmCm ( x )]

= dn ( x ),

m=1

∞

′C

′

′′A

′′

∑[anm Am

( x ) +bnm Bm ( x ) +cnm Cm ( x ) +cnmC( x )]= dn ( x ),

m=1

n = 1, 2, 3,...

(3.2.6)

′′A

= (λ + 2µ)∫∫ um ( y,z )un ( y,z )dA ;

где anm

∂2u

( y,z ) ∂2u

( y,z )

= µ∫∫

anm

∂y

∂z

un ( y,z )dA +

∂u

( y,z )

∂u

( y,z )

+ µ∫

m +

∂y

∂z

n dA ;

′A

= (λ + µ)∫∫

∂vm ( y,z )

un ( y,z )dA + µ∫ vm ( y,z )un ( y,z ) m dL ;

bnm

∂y

′A

µ)∫∫

∂wm ( y,z )

un ( y, z )dA + µ∫ wm ( y,z )un ( y,z ) n dL ;

cnm = (λ +

∂z

∂θ

( x, y,z )

dnA = −∫∫

(λ +

2µ)

µ 2u0

+ X

un ( y,z )dA −

∂x

∂u

( x, y,z )

∂v

( x, y,z )

− ∫

∂y

∂x

∂u

( x, y,z )

∂w ( x, y,z )

+ µ

− Xν

un ( y,z )dL ;

∂z

∂x

′B

= (λ + µ)∫∫

∂um

( y,z )

vn ( y,z )dA + λ∫un ( y,z )vn ( y,z ) m dL ;

anm

∂y

′′B

= µ∫∫ vm ( y,z )vn ( y,z )dA ;

bnm

(λ +

2µ)∂

( y,z )

+ µ

∂

( y,z )

( y,z )dA +

∫∫

∂y

∂z

(λ + 2µ)

∂v

( y,z )

m +

∂v

( y,z )

( y,z )dA ;

∫

∂y

∂z

cnmB

dnB

a′C

bnmC

c′′C

= (λ + µ)∫∫

∂2 w

( y,z )

vn ( y,z )dA +

∂y∂z

∂w

( y,z )

∂w ( y,z )

m _ µ

+ ∫

∂z

∂y

n vn ( y,z ) dL ;

(λ +

2µ)

∂θ

( x, y,z )

= −∫∫

+ µ 2v0 ( x, y,z ) +Y

vn ( y,z )dA −

∂x

∂v

( x, y,z )

− ∫

λθ0

( x, y,z ) + 2µ

∂y

∂v

( x, y,z )

∂w ( x, y,z )

+ µ

n −Y

( y,z )dL ;

∂z

∂x

= (λ + µ)

∂um ( y,z ) w ( y,z )dA +λ

∫

( y,z )w ( y,z ) n dL ;

∫∫

∂z

= (λ + µ)∫∫

∂2vm ( y,z ) wn ( y,z )dA +

∂y∂z

∂v

( y,z )

∂v

( y,z )

+ ∫

m + µ

∂y

∂z

n wn ( y,z ) dL ;

= µ∫∫ wm ( y,z )wn ( y,z )dA ;

cC =

(λ + 2µ)

∂2 w ( y,z )

+ µ

∂2 w ( y,z )

w ( y,z )dA +

∫∫

∂z

∂y

∂w ( y,z )

m +(λ +

2µ)

∂w ( y,z )

n + w ( y,z )dA ;

∫

∂y

∂z

dnB = −∫∫

(λ

+ 2µ)

∂θ

( x, y,z )

µ 2 w0 ( x, y,z ) +Y

( y,z )dA −

∂x

− ∫

∂v

( x, y,z )

∂w ( x, y,z )

∂z

∂x

∂w ( x, y,z )

λθ

( x, y,z ) + 2µ

−Y

( y,z )dL .

(3.2.7)

∂z

Система (3.2.6), представляет в общем случае бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. На практике обычно берут конечное число членов ряда (3.2.1), получая конечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Хотя теория решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений создана, это решение в общем случае является довольно трудоемким даже при использовании современных ЭВМ. Наиболее простым получается решение в случае ортогональности функций решения (3.2.1) и ортогональности их производных. Тогда система (3.2.5) распадается на систему отдельных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка для каждого члена рядов (3.2.1). В частности это возможно, если используются системы тригонометрических функций, но это возможно лишь для некоторых частных граничных условий.

Метод Канторовича−Власова применим и в случае тел, ограниченных плоскостями х1, х2 с произвольной боковой поверхностью. Тогда члены рядов решения (3.2.1) берутся в виде:

Аm(х) u(x,y,z),	Вm(х) vm(x,y,z),	Сm(х) wm(x,y,z).
Зависимость функций	um, , vm„ wm	от х, у, z связана с

необходимостью удовлетворять граничные условия на боковой поверхности, которые будут включать уравнения боковой поверхности. В этом случае применение алгоритма метода Канторовича−Власова приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, т.е. коэффициенты системы (3.2.6) будут функциями аргумента х.

В качестве функций перемещений для прямоугольных областей c прямоугольным поперечным сечением обычно используются функции в виде произведения функций от каждого независимого аргумента:

um (x, y,z)=U xm (x) U ym (y) U zm (z);
vm (x, y,z)=Vzm Vym (y) Vzm (z);
wm (y,z)=Wxm (x) Wym (y) Wzm (z),		(3.2.8)
при этом индексы	ут, zт могут независимо пробегать все
значения 1, 2, 3 ....
	б) ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
Решение плоской задачи теории упругости методом
Канторовича−Власова ищется в виде рядов:
u(x, y)= u0 (x, y)+ ∑∞ Am (x)um (y),
	m=1
v(x, y)= v0 (x, y)+ ∑∞ Bm (x)vm (y),		(3.2.9)
	m=1

где и0(х,у), v0(x,y) - функции, удовлетворяющие неоднородным граничным условиям на продольных сторонах плоской области; и(х) и v(y) - функции удовлетворяющие однородным граничным условиям на продольных сторонах плоской области; А(х), В(х) - неизвестные коэффициенты аргумента х.

Если решение ищется в виде (3.2.7), то рассматривается прямоугольная область (0 ≤ х ≤ а, 0 ≤ у ≤ b). За основу принимаются формулы уравнений возможных перемещений

(2.2.22), (2.2.23).

Проведем необходимые действия, аналогичные проведенным при решении пространственной задачи методом Канторовича−Власова. Подставляя решение (3.2.7) в левые части уравнений (2.2.22), получаем:

∂2u

∂2v

2(1

−ν12 )

∂x2 + (1 −

ν1 )∂y2 + (1 +ν1 )∂x∂y +

∫∫

X δu dA =

∂2u

∂2 v

= ∫∫ 2

∂ 2 + (1

−ν1 )

∂ 2

+ (1 +

ν1 )

∂x∂y

∞

2(1 −ν1 )

δ ∑ An ( x )un ( y ) dA =

n=1

∞

∂2u

+ (1 −ν1 )

∂2u

+ (1

+ν1 )

∂2 v

= ∑

∫

∂x

∂y

∂x∂y

n=1

2(1 −ν1

)

( y ) dy

δA ( x )dx ;

X u

2(1

−ν12 )

(1 +

ν1 )

∂2u

+ (1

−ν1 )

∂2v

∫∫

2 + 2

∂x∂y

∂x

∂y

δv dA

∞

(1 +ν1 )

∂

+ (1 −ν1 )

∂

u2 +

= ∑

∫ ∫ +

+ 2

∂x∂y

∂x

∂y

n=1

2 (1 −ν

12 )

(y)dy

δ B

(x)d x .

Если решение (3.2.7) не удовлетворяет статическим граничным условиям, то добавляются контурные интегралы (2.2.3). При этом учитываем, что для прямоугольной области на продольных краях l = 0, на грани у = 0 m = -1, на грани у = b m = 1:

∂u

∂v

1 −ν1

∂u

∂v

1 −ν1

∫

l +

Xν δu dL =

∂x

+ν1 ∂y

∂y

m −

Lσ

∞

1−ν1

∂u( x, y )

+ ∂v( x, y )

= −

∫

−

1−ν1

Xν δ ∑A ( x )u

( y )dx

∂y

n=1

y=0

−ν

∂u( x, y )

∂v( x, y )

1−ν 2

∞

∫

−

Xν

δ ∑A ( x )u

( y )dx

∂y

n=1

y=b

∞

−ν

∂u( x, y )

∂v( x, y )

1−ν

= ∑

∫

−

ν u

( y )

δA ( x )dx

∂y

m=1

;

y=0

∂u

∂v

∂u

∂v

1 −ν

∫

1 −ν1

−

Yν δu dL =

∂y

+ ν1 ∂x

+ ∂y

Lσ

∞

∂u( x, y )

∂v( x, y )

−ν

= ∑

∫

−

Yν v

( y )

δB

( x )dx .

∂x

∂y

m=1

y=0

Приравнивая нулю подынтегральные выражения (интеграл по аргументу х) при вариациях независимых функций Аn(x), Bn(x) (на основании основной леммы вариационного исчисления) и суммируя результаты от интеграла по площади и контурного интеграла, получаем систему дифференциальных уравнений относительно функций Ат(x), Bт(x):

	∞	′′A		′′	A			′A ′	A
	∑[anm			Am ( x ) + anm A( x ) +bnm Bm ( x )]= dn ( x ),
m=1										n = 1, 2, 3.. (3.2.10)
	∞	′		′	′′		′′			n = 1, 2, 3.. (3.2.10)
		′	B	′	′′	B	′′	B	B	( x ),
	∑[anm Am				( x ) +bnm B ( x ) +bnm Bm ( x )]= dn					( x ),
m=1

	′′A	b
где	′′A	= 2 ∫ um ( y ) un ( y )dy ;
где	anm	= 2 ∫ um ( y ) un ( y )dy ;
		0

b ∂2u

( y )

1−ν

∂u

( y )

a A

= (1

−ν

))

( y )dy

( y )

;

∫

∂y

′A

b ∂v

( y )

−ν

= (1

+ν

))

( y )dy

( y ) u

( y )

;

∫0

∂y

∂2u

( x, y )

(1−ν1 )

( x, y )

dnA = ∫ 2

∂x

∂y

+(1+ν1 )

∂2v0

( x, y )

2(1−ν12 )

un ( y )dy +

∂x∂y

1−ν

∂u

( x, y ) ∂v

( x, y )

1−ν 2

Xν

un ( y )

∂y

−

′B

b ∂u

( y )

= (1

+ν1 ))∫0

+(ν1um ( y ) un ( y ))

anm

∂y

vn ( y )dy

0 ;

′′B

= (1

−ν1 )∫ vm ( y ) vn ( y )dy ;

bnm

y=b

;

y=0

= 2

∂2v

( y )

( y )dy +

∂v

( y )

;

∫

( y )

∂y

∂2u0 ( x, y )

∂2 v0 ( x, y )

+ν1 )

+ (1 −ν1 )

= ∫

∂x∂y

∂

∂ 2

2(1 −ν12 )

( y ) dy +

∂u

( x, y )

∂v

( x, y )

−ν

y=b

ν1

−

Yν vn ( y )

(3.2.11)

∂x

∂y

y=0

где Ху0, Yyo, Хyb, Yyb - проекции распределенной нагрузки на гранях у = 0 и у = b по оси х и у соответственно.

Если на продольных границах у = 0 и у = b статические граничные условия выполнены, то слагаемые с подстановкой ... b0 ,

... yy==b0 отбрасываются.

Таким образом, как и в пространственной задаче, получена бесконечная система обыкновенных дифференциальных уравнений. На практике берут конечное число членов в рядах (3.2.7), что приводит к конечной системе дифференциальных уравнений, и получают приближенное решение. Если удается построить ортогональную систему функций, отвечающую граничным условиям задачи, то получаем систему отдельных дифференциальных уравнений. В этом случае можно получить точное решение задачи.

Если продольные границы области плоской задачи являются кривыми r1(х) и r2(х), r1(х) ≤ у ≤ r2(х), то решение плоской задачи можно искать в виде:

u(x, y)= u0 (x, y)+ ∑∞ Am (x)um (x,y) ,

m=1
v(x,y)= v0 (x, y)+ ∑∞ Bm (x)vm (x,y),	(3.2.12)
m=1

так как функции, удовлетворяющие граничным условиям на продольных краях, будут включать уравнения кривых r1(х) и r2(х).

Метод Канторовича−Власова приводит в этом случае к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, вид которых зависит от типа

кривых r1(х) и r2(х).

Например, если продольные криволинейные границы области (рис. 4.1) плоской задачи теории упругости жестко защемлены, т.е. на краях r1(х) и r2(х) перемещения u = v = 0, то функции un(x), vn(x) можно принять в виде

um (x, y)= sin mπ		y − r1	(x)	.	(3.2.13)
	r2	(x)− r1 (x)

Основными трудностями в этом случае являются вопросы дифференцирования и интегрирования сложных функций и решения системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

y r2(x)

	r1(x)		x



a		b

Рис. 3.1. Плоская область с криволинейными продольными краями

3.3. Пример расчета.

На тонкую пластинку, жестко защемленную с двух противоположных сторон, в плоскости пластинки действуют равномерно распределенные, нормальные к двум другим граням пластинки нагрузки р1 и р2, (рис. 3.2). Коэффициент Пуассона ν

= 0.15.

Требуется: Определить перемещения и нормальные усилия в пластинке методом Ритца−Тимошенко.

Решение. Для удобства перейдем к безразмерным координатам, положив:

ξ =	x	;	η =	y	;	λ =	a	.	(3.3.1)
	a			b			b

При этом производные по аргументам х, у переходят в производные по аргументам ξ, η в соответствии с формулами:

∂k ..

1 ∂k ..

;

∂k ..

1 ∂k ..

(3.3.2)

∂xk

ak ∂ξ k

∂y k

∂ηk

соответствии

условиями

закрепления

граней

пластинки

на

гранях

АВ

перемещения

должны

равняться нулю:

u(0,η)= u(1,η)= 0 ;

v(0,η)= v(1,η)= 0 .

На

гранях

BC,

заданы

только

Рис. 3.2. Плоская задача теории упругости.

статические

граничные

условия,

Изгиб пластинки в своей плоскости

однако,

перемещения

должны обращаться в ноль.

на

этих

гранях

не

Решение задачи будем искать в виде двойных рядов:

p0 a

∞

u(ξ,η)=

∑∑ Amnux m (ξ) u y n (η) ,

m=1n=1

p0 a

∞

v(ξ,η)=

∑∑Bmn vx m (ξ) vy n (η),

(3.3.3)

m=1n=1

где C =

− жесткость пластинки на растяжение; h – толщина

−ν 2

пластинки; р0

− произвольное значение интенсивности нагрузки.

Для определения коэффициентов Аmn, Вmn, в соответствии с алгоритмом метода Ритца−Тимошенко приходим с системе алгебраических уравнений (3.1.7)

	∑∞ (aklAmn Amn + bklAmn Bmn )= dklA ,
m=1		,	k, l = 1,2,3…	(3.3.4)
	∑∞ (aklBmn Amn + bklBmn Bmn )= dklB ,	,	k, l = 1,2,3…	(3.3.4)
	∑∞ (aklBmn Amn + bklBmn Bmn )= dklB ,
m=1
Коэффициенты системы aklA mn ,bklAmn , aklBmn ,bklBmn , dklA , dklB					в
соответствии с формулами (3.1.8)			с заменой индекса	m	при

функциях u, v на mn и индекса n на kl вычисляются по формулам:

a A mn = c

(u1

1 ) c

(u 0

u 0 )+

1 −ν

λ2 c

(u 0

u 0 ) c

(u1

u1 );

b A mn = λ

ν c

(v0

u1 ) c

(v1

u 0 )

1 −ν

(v1

u 0 ) c

(v0

u1 )

;

a B mn = λ

(u1

v0 ) c

(u 0

v1 )

1 −ν

(u 0

v1 ) c

(u1

v0 )

;

a B mn = λ2

(v0 v

0 ) c

(v1

v1 )+

1 −ν

(v1

v1 ) c

(v0

v0 ). (3.3.5)

Здесь введены обозначения:

(ϕ p ψ q )=

1 ϕ(p)(ξ) ψ (q)

(ξ)dξ ;

∫

x m

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 145 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.202511 Мб0attachment(2).docx
#
15.04.2019251 Кб1attachment1.doc
#
01.04.2025312 Кб1ATTESTATION.doc
#
12.05.20152 Мб76AutoCAD.pdf
#
01.07.20253 Мб1Avtomaticheskaya_ramka.docx
#
17.03.20162 Мб26b.pdf
#
17.03.2016146 Кб7bakalavr_diploma2012.doc
#
01.04.2025160 Кб1Balka_dvutavrovaya1.doc
#
19.11.2019668 Кб1BD_04_ER_UCEBNAYA_CHAST_crop_ukr.doc
#
23.11.2019716 Кб1BD_05_ER_SESSIYA_LAB_metodichka_ukr.doc
#
01.05.20251 Мб27Belyanskiy_Kratkiy_slovar_toponimov_MSKKruym.doc