b

т.е. берется интеграл произведения производных порядка p, q (верхние индексы) указанных в скобках функций аргумента ξ, η (нижний индекс).

Учитывая симметрию нагрузки и граничных условий на гранях АВ и CD относительно среднего сечения пластинки по оси х (перемещения u - обратно симметричны, перемещения v - симметричны), принимаем:

Функции аргумента η, с условием того, что они не должны обращаться в ноль на границах BC и AD, принимаем в виде:

Таким образом, мы получаем, что интегралы по аргументу η отличны от нуля тогда, когда, либо функции uny(η) – имеют четные индексы, а функции vny(η) – нечетные индексы, либо

наоборот, функции uny(η) – имеют нечетные индексы, а функции vny(η) – четные индексы.

В первом случае в соответствии с формулами (3.3.6) функции vny(η) обратно симметричны (направлены в одну сторону)

относительно среднего сечения пластинки по направлению оси у, во втором – симметричны. Очевидно, в первый случай соответствует задаче изгиба, второй - растяжению (сжатию) пластинки в плоскости пластинки по направлению оси у.

pac = p2 + p1 , нагрузки. Соответственно можно рассматривать

2

отдельно задачу растяжения пластинки от симметричной нагрузки (l – четные) и задачу изгиба пластинки в ее плоскости при действии обратносимметричной нагрузки (l - нечетные). Нагрузки рас и рс действуют на верхней ВС и нижней АD гранях и направлены в первом случае в одну сторону, во втором в противоположные стороны. В случае обратносимметричной

нагрузки происходит изгиб пластинки в ее плоскости. При удлинение пластинки решение должно стремится к решению сопротивления материалов изгиба балки.

Для обратносимметричной нагрузки формулы (3.3.6) для

Теперь индекс n для обеих функций пробегает непрерывный ряд значений значения 1, 2, 3.

Рассмотрим изгибную задачу. Очевидно, с переходом к функциям (3.3.13,а) аргумента η интегралы, включающие

производные эти функции, изменят свои значения. Вычислим эти интегралы:

окончательные формулы определения коэффициентов системы уравнений (3.3.2):

Проведем расчеты для квадратной пластинки λ = 1, принимая р0 = рас. Вычислим коэффициенты системы уравнений

(3.3.2) в первом приближении при m = n = k = l :

Вычислим вертикальное перемещение v и нормальное напряжение в средне нижней грани AD пластинки ξ = 0,5, η = 0,5, и напряжение σх нижней точке в заделке ξ = 0, η = 0:

=π (0,142 1 1 + 0,15 1,367 1 0) ph0 = 0,45 ph0 .

При вычислении двойных рядов с целью упорядочивания нумерации членов ряда, ряды разбивают на группы, такие, что сумма двух индексов s = m + n в группе постоянна. В группе первый индекс m пробегает значения от 1 до s-1, второй индекс равен n = s – m. Первая группа s = 2 состоит из одного члена ряда m = n = 1. Вторая группа s = 3 – два

члена ряда: m = 1, n = 2 и m = 2, n = 1. Третья группа s = 4

– три члена ряда. Если при использовании одинарных рядов в различных приближениях расчета используется конечное число членов ряда, то с двойными рядами целесообразно добавлять конечное число групп. Общее число членов ряда при этом определяется формулой

Np = N ( N +1) ,

2

где N – число групп членов ряда. Если во втором приближении взять две группы членов ряда, то N P( 2 ) = 2 3 / 2 = 3 . А так как

мы имеем дело в данной задаче с двумя функциями, то во втором приближении мы приходим к системе шести уравнений. Так как решение системы шести уравнений и более довольно трудоемко, то последующие вычисления целесообразно проводить на ЭВМ. По результатам расчета во втором приближении получим

vc(2) = v(2)(0,5;0)=1.493 pC0 a ; σ xc(2) =σ x(2)(0,5;0)= −1,367 Ph0 ;

σ xA(2) =σ x(2)(0,5;0)= −1,367 Ph0 ,

Сравнение показывает существенные различия результатов счета второго приближения по сравнению с первым

приближением. Были проведены вычисления последующих приближений. Результаты счета в различных приближениях в характерных точках пластинки приведены в табл. 3.1.

Таблица 3.1

уВ C

а p

A D

σx (ξ = 0)

σy (ξ = 0.5)

σx (ξ = 0.5)

Рис. 3.2. Изгиб пластинки в ее плоскости а - схема нагружения; б – эпюры перемещений;

в – эпюры напряжений (11-е приближение)

На рис. 3.2. приведены эпюры перемещений и напряжений в характерных сечениях пластинки ξ = 0, ξ = 0,25, ξ = 0,5, η = 0,

η = 0,5.

Эпюра горизонтальных перемещений uх в вертикальном сечении пластинки показывает существенное искажение (отклонение от плоскости) поперечного сечения при изгибе короткой (квадратной) пластинки. Также не соответствует

гипотезе плоскости распределение нормальных напряжений σх в вертикальных сечениях. Эпюра перемещений uу в горизонтальном сечении напоминает эпюру жестко защемленной на опорах балки. Для нормальных напряжений σх не выполняются статические граничные условия на верхней и нижней гранях

при нулевых продольных деформациях. Однако, в ближайших от верхний и нижней граней точках значение нормальных

напряжений, как видно из графиков, близко к требуемому граничному значению, что говорит о равномерной сходимости при удовлетворении граничных статических условий.

Аналогично можно решить и задачу растяжения пластинки. Суммируя оба решения можно получить решение исходной задачи от действия распределенных на гранях АD и ВС, не равных по

величине и направлению нагрузок.

IV. МЕТОД БУБНОВА−ГАЛЕРКИНА

Метод успешно применялся замечательным русским кораблестроителем И.Г. Бубновым при расчете обшивки кораблей, и в дальнейшем получил развитие в трудах Б. Г. Галеркина.

Метод Бубнова−Галеркина не относится к вариационным, хотя в некоторых вариантах может интерпретироваться как метод возможных перемещений. Но этот метод является одним из наиболее часто используемых методов расчета в инженерной практике, в частности при расчете пластин.

4.1. Ортогональные системы функций.

В основе метода Бубнова−Галеркина лежит понятие ортогональности функций. Две функции f(x) и ϕ(х) называются ортогональными в интервале а ≤ х ≤ b, если выполняется условие

Например, из теории рядов Фурье известно, что функции sin nx, sin mx и cos nx, cos тх при n ≠ m и sin nx, cos mx при про-

извольных целых n, m ортогональны в интервалах −π ≤ х ≤ π и 0 ≤ х ≤ π. Известны также системы классических ортогональных полиномов.

Кроме понятия ортогональности функций введем понятия ли-

нейной независимости и полноты системы функций.

ϕk(x),…, ϕn(x) нельзя выразить линейной комбинацией других функций этой системы

ϕк (x)≠ ∑Aiϕi (x), к ≠ i,

i

при произвольных Аi, не все из которых равны нулю.

Если две или несколько функций системы являются линейно зависимыми, то и вся система функций будет линейно зависимой.

линейно зависимая система функций.

То, что принята линейная зависимость первых к членов системы функций, не существенно, так как при конечном числе функций всегда можно поменять порядок их нумерации.

К бесконечным линейно независимым системам функций относятся системы упомянутых выше синусов и косинусов. Другим примером линейно независимых систем функций являются системы полиномов разных порядков. Полиномом п-го порядка называется выражение

цией полиномов порядка меньше п.

На основе любой линейно независимой системы функций порядка п можно построить другую систему п линейно независимых функций, взяв некоторые линейные комбинации из некоторых функций первоначальной системы. В частности, можно построить систему линейно независимых, взаимно ортогональных функций. В пособии не рассматривается алгоритм построения ортогональных систем функций. С ним можно познакомится в курсах математической физики, функционального анализа и некоторых других.

Введенные понятия ортогональности и линейной независимости системы функций имеют аналогию с понятиями ортогональности и линейной независимости векторов, а разложение функции в ряд по этой системе функций - с разложением векторов по линейно независимому базису векторов.

Вкурсе линейной геометрии показывается:

-два непараллельных вектора в плоскости линейно независимы;

-любому вектору в плоскости можно построить вектор ортогональный данному;

-любой вектор в плоскости можно выразить через линейную комбинацию двух линейно независимых векторов;

-в трехмерном пространстве три некомпланарных (не лежащих в одной плоскости) вектора являются независимыми;

-двум ортогональным векторам в плоскости можно построить третий, ортогональный им в трехмерном пространстве;

-любой вектор в трехмерном пространстве можно представить линейной комбинацией трех линейно независимых векторов;

-любые три линейно независимых вектора трехмерного пространства (два вектора двухмерного пространства) могут служить базисом этого пространства;

-условием ортогональности векторов является равенство нулю их скалярного произведения

3

(а,b) = a1b1 + a2b2 + a3b3 = ∑aibi = 0,

i=1

где аi, bi - коэффициенты разложения векторов в ортогональном базисе трехмерного пространства;

-на основе произвольного базиса пространства можно построить ортогональный базис этого пространства;

-любой вектор трехмерного (двухмерного) пространства можно представить в виде линейной комбинации базиса пространства, которая называется проекциями вектора на базис пространства;

В случае неортогональной системы функций коэффициенты cn ряда Фурье определяются из бесконечной системы алгебраических уравнений

В курсе математического анализа студентам дается теория тригонометрических рядов Фурье. Однако функцию можно раскладывать в ряды не только по системе тригонометрических функций, но и по любой другой полной системе линейно независимых функций. Для этой цели используются, например, функции Бесселя, или системы классических ортогональных полиномов и т.д.

Линейно независимая система функций ϕm(х) называется полной на данном множестве функций в интервале [а,b], если при разложении любой функции из этого множества функций в ряд Фурье по системе функций ϕm(х) и любой точки х [а,b] для точки x′ из интервала (х -ε < х′ < х+ε) и как угодно малых ε и δ найдется такое N > 0, что будет выполняться условие