Типовой расчет №4

Расчет теоретической нормальной кривой распределения

Приведем один из способов расчета теоретического нормального распределения по двум найденным выборочным характеристикам и S эмпирического ряда.

При расчете теоретических частот за оценку математичес­кого ожидания и среднего квадратического отклонения нор­мального закона распределения принимают значения соответствующих вы­борочных характеристик и S , т.е = 5,4426;S =0,167.

Теоретические частоты находят по формуле =n;

где n - объем выборки;

- вероятность попадания значения нормально распределенной случайной величины в i -й интервал.

Вероятность определяется по формуле

=<)=

где Ф(t)=*- интегральная функция Лапласа - находится по таблице для

=,=

Для вычисления вероятности и теоретических частот составим таблицу 1.5.

Таблица 1.5

Расчет теоретической нормальной кривой распределения

Интервалы (;)				Ф()	Ф()		n		/h
4,99 - 5,10 5,10 - 5,21 3,21 - 5,32 5,32 - 5,43 5,43 - 5,54 5,54 - 5,65 5,65 - 5,76 5,76 - 5,87 5,87 - 5,98	1 8 7 34 26 13 5 5 1	-2,05 -1,39 -0,73 -0,07 0,58 1,24 1,90 2,55	-2,05 -1,39 -0,73 -0,07 0,58 1,24 1,90 2,55 +∞	-0,5000 -0,4798 -0,4177 -0,2673 -0,0279 0,2190 0,3925 0,4713 0,4927	-0,4798 -0,4177 -0,2673 -0,0279 0,2190 0,3925 0,4713 0,4927 0,5000	0,0202 0,0621 0,1504 0,2394 0,2469 0,1735 0,0788 0,0234 0,0053	2,02 6,21 15,04 23,94 24,69 17,35 7,88 2,34 0,53	2 6 15 24 25 17 8 2 1	0,18 0,54 1,36 2,18 2,27 1,54 0,72 0,18 0,09
	100	–	–	–	–	1,0000	–	100	–

Построим теоретическую нормальную кривую f(x) на рис.1.1. Для этого из середины частных интервалов восстановим перпендикуляры высотой /h (табл.1.5, графа 10), где =/n. На рис.1.1 концы этих перпендикуляров отмечены точками. Полученные точки соединены плавной кривой.

Сравнение гистограммы и теоретической нормальной кривой наглядно показывает согласованность между теоретическим и эмпирическим распределениями.

Типовой расчет №5

Проверка гипотезы о нормальном законе распределения

Примечание. При использовании критерия согласия Пирсона общее число наблюдений должно быть достаточно большим (n>50) и интервалы должны быть достаточно заполнены частотами. Если отдельные теоретические частоты на концах распределения окажутся малыми (<5), то при вычислениинеобходимо объединить такие интервалы, сложив соответствующие частоты.

Частоты для проверки соответствия эмпирического ряда распреде­ления нормальному закону используют критерий , основанный насравнении эмпирических частот с теоретическими , которыеможно ожидать при принятии определенной нулевой гипотезы.

Значение - наблюдаемое значение критерия, полученное по результатам наблюдений, равно

где к - число интервалов (после объединения), – теорети­ческие частоты. Все вспомогательные расчеты, необходимые для вычис­ления , сведем в таблицу 1.6.

Таблица 1.6

Вычисление критерия при проверке нормальностираспределения объемов основных фондов

Интервалы			(-)
4,99 - 5,10 5,76 - 5,87 5,87 - 5,98 5,10 - 5,21 3,21 - 5,32 5,32 - 5,43 5,43 - 5,54 5,54 - 5,65 5,65 - 5,76	1 5 1 8 7 34 26 13 5	2 2 1 6 15 24 25 17 8	4 4 64 100 1 16 9	0,8 0,67 4,27 4,17 0,04 0,94 1,12
	100	100	–	=12,01

Правило проверки гипотезы заключается в следующем. Определяем по таблице распределения Хи-квадрат критическое значение(,) для числа степеней свободы =к-3 и заданного уровня значимости . Затем сравниваем и .

Если <, то выдвинутая гипотеза о законе распределения не отвергается (не противоречит опытным данным).

Если >,то выдвинутая гипотеза о нормальном законе распределения отвергается с вероятностью ошибки . Для нашего; примера =12,015, =0,05, =7-3=4 (число интервалов после объединения стало равным 7) и (0,05;4)=9,5;

Так как >, то согласно критерию Пирсона гипо­теза о нормальном законе отвергается. Можно сделать вывод, что распределение объемов основных фондов 100 предприятия не является нор­мальным.

Вопросы для самопроверки

1. Перечислите основные задачи математической статистики.

2. Что называется генеральной совокупностью; случайной выборкой?

3. Что называется вариационным рядом распределения?

4. Как сделать предварительный выбор закона распределения генеральной совокупности по виду гистограммы и полигона относительных частот; по значениям выборочных коэффициентов ассиметрии и эксцесса?

5. Графикам каких функций в теории вероятностей соответствуют гистограмма и полигон относительных частот; кумулята?

6. Что называется эмпирической функцией распределения? В чем различие между эмпирической и интегральной функцией распределения?

7. На основании каких признаков или критериев можно произвести предварительный выбор закона распределения генеральной совокупности?

8. В чем состоит задача нахождения точечных оценок неизвестных параметров распределения?

9. Какая оценка параметра называется несмещенной; состоятельной; эффективной? Почему желательно, чтобы оценка была несмещенной и состоятельной?

10. Укажите точечные оценки неизвестных параметров нормального распределения генеральной совокупности.

11. Что называется статистической гипотезой?

12. Что называется параметрической; непараметрической статистической гипотезой?

13. Что называется ошибкой первого рода; ошибкой второго рода? Интерпретировать вероятности совершения ошибок первого и второго рода.

14. Как изменяется вероятность совершения ошибок второго рода при стремлении уровня значимости к нулю?

15. Что называется уровнем значимости ?

16. Что называется статистическим критерием?

17. Что называется критической областью статистического критерия? Как выбрать критическую область в зависимости от вида конкурирующей гипотезы?

18. Можно ли применяя статистический критерий значимости, сделать вывод: «Проверяемая нулевая гипотеза верна»?

19. Как находится критические точки для статистических критериев U, t, F, в случае двусторонней критической области; в случае правосторонней критической области?

20. Как проверить гипотезу о нормальном законе распределения по критерию согласия Пирсона ?

20