§2. Тригонометрическая форма комплексного числа

Геометрически комплексное число z = a + i∙b изображается как точка с координатами (a, b) на плоскости. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью С.

y C

b z

Im z

 x

0 Re z a

Рис.A.

Определение 5. Действительное число |z|=называетсямодулем комплексного числа z = a + i∙b. Геометрически модуль числа z является длиной радиуса-вектора точки (a, b).

Угол  между радиус-вектором и положительным направлением оси OX называется аргументом числа z и обозначается arg z: φ = arg z. Аргумент комплексного числа определён неоднозначно (с точностью до слагаемых, кратных 2π): если, например, φ = π/6, то значения φ, равные π/6 ± 2π∙k, тоже будут соответствовать числу z; значение аргумента, удовлетворяющее условиям −π < arg z ≤ π, называют главным; для обозначения всех значений аргумента комплексного числа z применяется символ Arg z: Ar gz = arg z + 2kπ, k = 0, ±1, ±2, ±3, ...         

Определение 6. Запись комплексного числа в виде

z = |z|(cosφ + i∙sinφ)

называется тригонометрической формой числа z. В тригонометрической форме особо интерпретируются такие действия, как умножение, деление, возведение в степень.

Теорема 4. При умножении комплексных чисел их модули перемножются и аргументы слагаются:

z₁·z₂ = |z₁|·|z₂|·[cos(φ₁ + φ₂) + i∙sin(φ₁ + φ₂)]

Доказательство. Пусть z₁ = |z₁|(cosφ₁ + i∙sinφ₁), z₂ = |z₂|(cosφ₂ + i∙sinφ₂). Тогда z₁·z₂ = |z₁|·|z₂|·[ (cosφ₁ ∙cosφ₂ - sinφ₁ ∙sinφ₂) + i∙(sinφ₁∙cosφ₂ +

cosφ_1∙ sinφ₂)] = (cos(φ₁ + φ₂) + i∙sin(φ₁ + φ₂)]. Теорема доказана.

Теорема 5. При делении комплексных чисел их модули делятся друг на друга и аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

=∙[cos() +i∙sin)].

Доказательство. Пусть рассматривается деление комплексных чисел. Очевидно, если z₂ ≠ 0, z₂ =|z₂|[cos φ₂ + i∙sinφ₂], то, согласно теореме 1,

Теорема доказана.

Теорема 6(формула Муавра). Если z = |z|(cosφ + i∙ sinφ), то

z ⁿ = |z|ⁿ(cos n∙arg z + i∙sin n∙arg z)

Доказательство проводится с помощью математической индукции по показателю степени n.

Теорема 7. При извлечении корня n-ой степени из комплексного числа z производится извлечение корня n–степени из его модуля, а его аргументы делятся на n

= ∙(cos +i∙sin )

Доказательство. По определению, корень n-ой степени из комплексного числа z - это любое число w, такое, что wⁿ = z. Пусть z = |z|∙(cos(Arg z) +

i∙sin(Arg z)), и число w = |w|(cos(arg w) + i sin(arg w)) удовлетворяет предыдущему соотношению. Тогда, по теореме 3, w ⁿ = |w| ⁿ∙(cos(n∙arg w) + i∙sin(narg w)) = |z|(cos (Arg z) + i∙ sin(Arg z)). Комплексные числа равны, если равны их модули и аргументы. Поэтому |w| ⁿ = |z| и n∙ argw = Arg z. Следовательно, |w| =,arg w = =, при этомn различных значений корня n-ой степени из числа z получаются при k = 0, 1, 2, ..., n−1. Теорема доказана.

Пример 4. Пользуясь формулой Муавра, вычислить, A = .

1).Пусть +i, сначала находится тригонометрическая форма этого числа. || = 2,cos= in= , отсюдаи=2∙.Тогда

2). Аналогично, пусть i, тогда || =, cos = ,=, отсюда, следовательно, =∙ . Тогда.

Теперь, A = =

.

        Расстояние между точками z и z₀ равно . Тогда верны следующие утверждения.

1). |z − z₀| = R - уравнение окружности радиуса R с центром в точке z₀.          2). |z − z₀| ≤ R - замкнутая область, ограниченная этой окружностью, т.е. круг радиуса R с центром в точке z₀, включающий свою границу.          3). |z − z₀| > R - открытая область, состоящая из точек, находящихся вне круга радиуса R с центром в z₀; круг не включен в эту область.          4). |z − z₁| + |z − z₂| = 2a - эллипс, построенный на точках z₁ и z₂, рассматриваемых как фокусы (большая полуось равна 2а, малая - ) (рис. 1.). Области, лежащие внутри и вне эллипса, описываются соответствующими неравенствами.          5). ||z − z₁| − |z − z₂|| = 2a - гипербола с фокусами в точках z₁ и z₂; расстояние между фокусами 2с = |z₁ − z₂|, между вершинами 2а (рис.2). Уравнение |z − z₁| − |z − z₂| = 2a даёт ветвь гиперболы, расположенную ближе к фокусу z₂; неравенство |z − z₁| − |z − z₂| > 2a - открытую область, содержащую фокус z₁ и ограниченную соответствующей ветвью гиперболы.          6). Re z = a (или x = a) - прямая, параллельная оси Оу. Re z ≥ a - область, лежащая справа от этой прямой (включая прямую); Re z < a - область слева от прямой (прямая не включена в область). Im z = b (или y = b) - прямая параллельная оси Ох; Im y ≥ b, Im y < b - области, расположенные выше и ниже этой прямой.          7). arg z = α - луч, выходящий из точки z = 0 под углом α к оси Ох. arg(z − z₀) = α - луч, выходящий из точки z₀ под углом α к оси Ох. α ≤ arg (z - z₀) ≤ β - область, расположенная между лучами, выходящими из точки z₀ (рис. 3.).

Пример 5. Описать множество точек, изображающей на комплексной плоскости числа, удовлетворяющих условиям:

а). |z – 3 + i|4; b) (Re z²) = 1; c) |z  (1+i)| + |z - (1-i)| < 4.

Решение. а). Пусть z = x + iy, тогда z – 3 + i= (x-3)+i(y+1). |z – 3 + i| = ; заданное условие принимает вид:

16. Ответ: это множество точек, лежащих на окружности радиуса 4 и с центром в точке(3,-1) и точки вне этого круга.

b). Пусть z = x + iy, тогда z² = (+2xyi; (Re z²)= (; заданное условие принимает вид: (= 1. Ответ: это множество точек, лежащих на гиперболе.

c) |z  (1+i)| + |z - (1-i)| < 4. z = x + iy, тогда z  (1+i) = (x-1)+i(y-1); |z  (1+i)| =; z - (1- i) = (x-1)+ i(y +1);

|z - (1-i)| =; заданное условие принимает вид:+< 4. Выше в пункте 4 было отмечено, что это точки эллипса, изображенного на рис. 1.

Замечание. Комплексное число z=x+iy имеет еще две формы записи. Показательная форма:

z = r∙,

где r = модуль числа z, - аргумент z.

В чисто алгебраических исследованиях встречается Матричная форма

z = .

Тригонометрическая интерпретация комплексных чисел непосредственно применяется в электротехнике для изображения переменных синусоидальных токов и напряжений. Здесь аргумент интерпретируется терминами «фаза», "амплитуда».