19)Достаточный признак сходимости знакопеременных числовых рядов.
Проще всего
исследовать знакопеременный числовой
ряд 
на
абсолютную сходимость. В этом случае
берем знакоположительный ряд
,
составленный из абсолютных величин
членов исходного ряда, и применяем к
нему подходящий достаточный признак
сходимости из рассмотренных выше. Если
ряд
сходится,
то исходный ряд является абсолютно
сходящимся.
20)Достаточный признак сходимости знакочаредующихся числовых рядов (признак Лейбница).
Если
абсолютные величины членов знакочередующегося
ряда монотонно убывают 
и
предел модуля общего члена ряда равен
нулю при
,
то ряд
сходится.
21)Функциональный ряд, область сходимости. Свойства правильно сходящихся функциональных рядов.
Бесконечная сумма функций u1(x) + u2(x) +…+ un(x) +… , где un(x) = f (x,n), называется функциональным рядом. Множество значений х, при подстановке которых в функциональный ряд получается сходящийся числовой ряд, называется областью сходимости функционального ряда.
1.
Если все 
непрерывны
в области G,
то сумма ряда 
есть
также непрерывная области Gфункция.
2.
Если все 
аналитичны
в области G,
то сумма ряда 
есть
также аналитическая в области Gфункция.
3.
Если ряд 
сходится
равномерно в области G,
то в нем допустим почленный переход к
пределу, то есть
.
22)Степенной ряд. Свойства степенных рядов. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости.
Функциональный ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, называется степенным рядом: ∑n=0∞anxn=a0+a1x+a2x2+…+anxn+…, где ai − коэффициенты степенного ряда (постоянные действительные числа).
Часто рассматривается степенной ряд, расположенный по степеням (x−x0): ∑n=0∞an(x−x0)n=a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+…+an(x−x0)n+…, где точка x0 называется центром степенного ряда.
Интервал сходимости степенного ряда Рассмотрим функцию f(x)=∑n=0∞an(x−x0)n. Ее областью определения является множество значений x, при которых ряд сходится. Данная область определения называется интервалом сходимости.
Радиус сходимости степенного ряда Если интервал сходимости представляется в виде (x0−R,x0+R), где R>0, то величина Rназывается радиусом сходимости. Степенной ряд сходится абсолютно в каждой точке интервала сходимости. Сходимость в граничных точках x0−R и x0+R устанавливается отдельно.
Радиус сходимости по признаку Даламбера R=limn→∞∣∣anan+1∣∣
Радиус сходимости по радикальному признаку Коши R=limn→∞1an−−√n
Дифференцирование степенных рядов Пусть дан степенной ряд f(x)=∑n=0∞anxn=a0+a1x+a2x2+…, имеющий радиус сходимости R>0. Функция f(x)=∑n=0∞anxn является непрерывной при |x|<R. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно дифференцировать почленно. Производная степенного ряда равна f′(x)=ddxa0+ddxa1x+ddxa2x2+…=a1+2a2x+3a3x2+…=∑n=1∞nanxn−1.
Интегрирование степенных рядов Степенной ряд можно почленно интегрировать на отрезке, расположенном внутри интервала сходимости. Если −R<b<x<R, то справедливо соотношение ∫bxf(t)dt=∫bxa0dt+∫bxa1tdt+∫bxa2t2dt+…+∫bxantndt+…
Если интегрирование выполняется на отрезке [0,x], то интеграл выражается формулой ∫0xf(t)dt=∫0xa0dt+∫0xa1tdt+∫0xa2t2dt+…+∫0xantndt+…=a0x+a1x22+a2x33+…=∑n=0∞anxn+1n+1+C.