Расчет на устойчивость центрально-сжатого стержня

Условие устойчивости записывается в виде:

σ = ≤ [σ_у] = φ·[σ].

здесь:

σ - напряжение в поперечном сечении стержня;

Р - сжимающая сила;

F - площадь поперечного сечения;

[σ _у] - допускаемое напряжение на устойчивость;

[σ] - допускаемое напряжение на простое сжатие;

φ - коэффициент уменьшения основного допускаемого напря­жения (коэффициент продольного изгиба), зависящий от механичес­ких характеристик материала и от гибкости стержня λ:

λ = = μ·ℓ·.

Здесь:

μ - коэффициент приведенной длины, зависящий от условий опирания стержня;

μ·ℓ - приведенная длина, равная длине одной полуволны сину­со­иды при изгибе стержня;

i_min и J_min - наименьший радиус и момент инерции относительно од­ной из главных центральных осей поперечного сечения стержня.

Коэффициент φ может изменяться от 0 до 1. Если целью расчета является определение размеров сечения стержня при заданной фор­ме, то условие устойчивости переписывается в виде:

F ≥ . (11.1)

Сложность предлагаемой в настоящее время в учебниках методики зак­лючается в том, что расчет необходимо вести методом последовательных приближений, так как связь φ с F посредством λ задается не аналитически, а в виде таблицы или графика.

Для упрощения расчета таблица "φ - λ" дополнена еще одним безразмерным коэффициентом α

α = (11.2)

предельное значение которого может быть заранее подсчитано. Действи­тельно, переписывая условие устойчивости (11.1) в виде

≤

и учитывая (11.2), имеем;

α = ≤·=·K. (11.3)

Здесь выделен коэффициент формы сечения

K = (11.4)

11.1. Пример расчета.

Стержень длиной ℓ=2,5 м, защемленный на обоих концах (µ=0,5); сжи­мается силой Р = 300 кН (30 тс) (рисунок 11.1). Материал стержня - сталь марки Ст.3; ([σ] = 160 МПа (1600 кгс/см²)). Форма сечения задана (рисунок 11.2) .

Рисунок 11.1 Рисунок 11.2

11.2 Расчет с помощью коэффициента формы.

1. Выражаем площадь F, наименьший момент инерции сечения J_min и наименьший радиус инерции че­рез характерный размер а:

F = - a·2·a = (7,07-2) · a² =5,07 · a²;

J_min = J_x =-= (3,97 - 0.667)а⁴ = 3,303 а⁴;

i_min === 0,807·a.

2. Вычисляем коэффициент формы сечения:

K = == 7,77.

3. Вычисляем предельное значение коэффициента α:

α_max = =·K = ·7,77 = 6480.

4. По таблице 11.1, применяя линейную интерполяцию, опреде­ляем соот­ветствующее значение коэффициента уменьшения основ­ного допускаемого напряжения:

φ = 0,81-·(6480-5050) = 0,81-·430 = 0,81-0,01 = 0,80.

5. Определяем площадь сечения:

F ≥ == 23,4·10^-4 м² = 23,4 см².

6. Определяем характерный размер:

a = == 2,15см.

7. Гибкость стержня:

λ = = = ==72.

Таблица 11.1

Стали марок 4,3,2 ОС

λ =	φ	α =
0	1,00	0
10	0,99	101
20	0,96	417
30	0,94	958
40	0,92	1740
50	0,89	2810
60	0,86	4180
70	0,81	6050
80	0,75	8540
90	0,69	11750
100	0,60	16680
110	0,52	23300
120	0,45	32000
130	0,40	42800
140	0,36	54800
150	0,32	70400
160	0,29	88300
170	0,26	111000
180	0,23	141000
190	0,21	172000
200	0,19	210500