3.Основные теоремы о пределах. Асимптоты графика функции

• Теорема 1. Функция не может иметь более одного предела.

Теорема 2. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, т.е.

• Теорема 3. Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, т.е.

• Следствие.1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.

• Следствие 2. Предел степени равен степени предела, т.е.

• Теорема 4. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, при условии, что предел делителя не равен нулю, т.е.

Замечательные пределы

Асимптоты графика функции

• Асимптотой графика функции у =( х) называется прямая, обладающая следующим свойством, что расстояние от переменной точки на графике до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по графику от начала координат.

• Теорема 1. Пусть функция у = ( х) определена в некоторой окрестности точки х₀ (исключая, возможно, саму эту точку) и хотя бы один из пределов функции при х х₀ – 0 (слева) или при х х₀ + 0 (справа) – равен бесконечности, тогда прямая при х = х₀ является вертикальной асимптотой графика функции у = ( х).

• Замечание. Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции у = ( х) или на концах ее области определения (а, b) если а и b - конечные числа.

• Теорема 2. Пусть функция у = (х) определена при достаточно больших х и существует конечный предел функции при х   и он равен числу b. Тогда прямая у = b есть горизонтальная асимптота графика функции у = ( х).

• Замечание. Если конечен лишь один из пределов слева или справа, то функция имеет лишь левостороннюю или правостороннюю асимптоту.

• Теорема 3. Пусть функция у = ( х) определена при достаточно больших х и существует конечные пределы

• Тогда прямая у = kx + b является наклонной асимптотой.

4.Непрерывность функции в точке и на интервале.

• Определение 1. Функция (х) называется непрерывной в точке х₀, если она удовлетворяет следующим трем условиям:

• 1) определена в точке х₀ (т.е. существует (х₀));

• 2) имеет конечный предел функции при х  х₀;

3) этот предел равен значению функции в этой точке , т.е.

• Определение 2. Функция у =(х) называется непрерывной в точке х₀, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:

Функция у = (х) называется непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. 5.Точки разрыва первого и второго рода.

• Точка х₀, в которой функция (х) не является непрерывной называется точкой разрыва.

Точка х₀ называется точкой разрыва первого рода, если существуют конечные односторонние пределы функции слева или справа при х  х₀, не равные друг другу, либо если они равны между собой, но не равны значению функции в точке х₀.

• Обозначим

• а) , в этом случае функция имеет скачок

• б),но не равно значению функции в точке х₀ , имеем устранимый разрыв.

Точка х₀ называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов слева или справа равен бесконечности или не существует.