11 Частная проблема собственных значений
Для определения одного или нескольких собственных значений применяются как правило итерационные методы. Простейшим итерационным методом является степенной.
11.1Определение наибольшего по модулю собственного значения матрицы
Пусть 1; :::; n - собственные значения матрицы A.
1. Среди собственных значений матрицы A есть одно наибольшее по модулю. Предположим, что
j 1j > j 2j > ::: > j nj (1)
Полагаем, что 1 - действительное. Положим, что y - произвольный вектор n-мерного пространства. Разложим его по собственным векторам x(j)матрицы A
n
y = Pcjx(j)
j=1
n
Ay = PcjAx(j)
j=1
cj - некоторые коэффициенты. Так как x(j)- собственный вектор матрицы A, то
Ax(j) = jx(j)
Получим
n
Ay = Pcj jx(j)
j=1
Назовем Ay итерацией вектора y и последовательно образуем Ay, A2y, ... ,Amy. В итоге получим
n
Amy = Pcj mj x(j) (2) j=1
Выберем в пространстве En = fyg базис e1; :::; en(не обязательно единичный). Обозначим
0 1
y1(m)
Amy = y(m)m = 1; 2; ::: y(m) = By2(m)C
B C
B ::: C
@ A
yn(m)
где yi(m) - i-ая координата вектора y в выбранном базисе.
Разлагая собственные векторы x(j) по векторам выбранного базиса получим
n
x(j) = Pxijei(3) i=1
Подставляя (3) в (2) получим
|
n |
n |
xijei = |
n |
n |
||||
y(m) = |
cj jm |
|
ei |
cjxij jm (4) |
|||||
|
P |
iP |
|
|
|
P |
|
P |
|
|
j=1 |
=1 |
|
|
|
i=1 |
j=1 |
||
39
Коэффициенты при векторах ei есть i-такая координата вектора y(m). Следовательно
n
y(im) = Pcjxij mj (40) j=1
а следующая итерация
n
y(im+1) = Pcjxij mj +1 (400) j=1
Разделив вторую сумму на первую, получим
y(im+1) = c1xi1 m1 +1+:::+cnxin mn +1 (5) y(im) c1xi1 m1 +:::+cnxin mn
Предположим, что c1 6= 0 xi1 6= 0. Этого можно добиться выбирая надлежащим образом вектор y и базис (e1; :::; en). Преобразуем (5)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m+1 |
|
|
|
|
|
m+1 |
|
||
|
|
(m+1) |
|
1+ |
c2xi2 2 |
|
+:::+ |
cnxin n |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
m+1 |
|
|
|
|
m+1 |
|
||||||
yi |
= 1 |
|
c1xi1 1 |
|
|
c1xi1 1 |
|
|||||||||||
|
|
|
(m) |
|
|
c |
x |
i2 |
m |
|
c |
n |
x |
in |
m |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
yi |
|
1+ |
2 |
|
2 |
+:::+ |
|
|
n |
|
||||||||
|
c1xi1 |
m |
|
|
|
|
m |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
c1xi1 1 |
|
||||||||
При m ! 1 получим
(m+1)
lim yi (m) = 1 (6)
m!1 yi
так, как
lim ( j )m = 0 j = 2; 3; :::; n
m!1 1
2.Наибольшее по модулю собственное значение является действительным и кратным. В случае 2 наибольшее по модулю собственное значение находится так же, как и в случае 1.
3.Два наибольших по модулю собственных значения вещественны и противоположны по знаку. В случае 3 значение
|
|
2m+2 |
|
|
|
2m+1 |
|||
2 |
= |
yi |
|
или 2 |
= |
yi |
|
|
|
y |
2m |
2m |
|
1 |
|||||
1 |
|
i |
1 |
|
y |
i |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. Наибольшие по модулю собственные значения образуют простую комплексныю пару (действительные части одинаковы, мнимые отличаются только по знаку) Пусть 1и 2 комплекно-сопряженные, наибольшие по модулю собственные значения.
j 1j > j 3j > ::: > j nj
Запишем формулу (40) в ином виде, для этого опустим индекс i, указывающий на координату y(m). Получим
n
y(m) = Pcjxj mj j=1
Номер итерации будем указывать в виде нижнего индекса и обозначим cjxj = aj Получим
ym = a1 m1 + a2 m2 + ::: + an mn
Положим
40
p = ( 1 + 2) q = 1 2 (8 )
Тогда 1; 2 будут корнями квадратного у-ния
t2 pt + q = 0
Коэффициенты p и q могут быть определены из следующих соображений: пусть m настолько велико, что
ym a1 m1 + a2 m2
Тогда
ym+1 + pym + qym 1 a1 m1 1( 21 + p1 1 + q) + a2 m2 1( 22 + p 2 + q) = 0 (9)
Аналогичные приближенные равенства
zm+1 + pym + qzm 1 0 (10)
будут справедливы для любой другой компоненты zm.
Таким образом получена система из двух линейных у-ний с двумя неизвестными p и q. После определения p и q из формул (8 ) могут быть найдены собственные значения 1; 2
41