4. Тесты.

Дисциплина не предполагает проведение тестов.

1. Пример выполнения расчетно-графической (контрольной) работы.

Условие контрольной работы.

2.1. Найти по методу наименьших квадратов оценки коэффициентов множественной линейной регрессионной модели

.

2.2. Проверить качество оценивания моделей на основе коэффициента детерминации и F- критерия. Пояснить их содержательный смысл.

2.3. Проверить полученные в заданиях 2.1-2.2 результаты с помощью средств Microsoft Excel.

2.4. Рассчитать точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей по множественной модели с доверительной вероятностью 0,9. Как и в задаче 1, возраст поступивших автомобилей x₁ = 3 года, мощность двигателя x₂ = 165 л.с.

2.5. На основе полученных в задачах 1-2 статистических характеристик провести содержательную интерпретацию зависимости цены автомобиля от возраста и мощности двигателя.

Таблица

i номер	yi цена, тыс.у.е.	xi1возраст, лет	xi2 мощность двигателя, л.с.
1	12,0	3,5	140
2	10,9	5,0	160
3	6,8	5,5	100
4	7,6	8,0	170
5	9,7	5,0	100
6	9,2	6,0	150
7	4,1	7,0	90
8	7,3	6,0	110
9	12,8	5,0	170
10	11,3	3,5	110
11	5,9	8,0	120
12	12,7	4,5	170
13	12,2	3,5	140
14	6,4	8,0	140
15	10,5	3,5	90
16	9,1	4,0	80

Множественная регрессия

2. Необходимые сведения. Рассмотрим множественную линейную регрессионную модель с двумя объясняющими переменными

,

где ₀, ₁, ₂ - неизвестные параметры, ε - случайная переменная (случайный член, случайное возмущение), отражающая влияние неучтенных факторов и погрешностей измерения.

Нахождение оценок неизвестных параметров в модели с тремя переменными x₁, x₂, y так же, как и в модели с двумя переменными, основывается на применении метода наименьших квадратов, основные этапы которого в этом случае сводятся к следующему.

1. Используя выборочные наблюдения над тремя переменными x₁, x₂, y, то есть: (x_i1, x_i2, y_i), i=1, …,n, и уравнение регрессии , в котором коэффициенты a₀, a₁, a₂ пока неизвестны, составляются отклонения .

2. Определяется сумма квадратов отклонений

,

которая является некоторой функцией F трех переменных a₀, a₁, a₂, т.е.

.

3. Оценки a₀, a₁, a₂ неизвестных параметров модели ₀, ₁, ₂ находятся из условия минимума суммы квадратов отклонений, т.е. из условия

.

4. Для нахождения точки минимума функции записываются необходимые условия экстремума

, , .

5. Определяются частные производные функции :

;

;

.

6. Необходимые условия экстремума записываются еще один раз с учетом найденных выражений для частных производных , , :

,

,

.

7. После элементарных преобразований данная система уравнений записывается в виде так называемой системы нормальных уравнений, представляющую собой систему трех линейных уравнений относительно трех неизвестных a₀, a₁, a₂:

(2.1)

Найдем численные значения оценок a₀, a₁, a₂ в рассматриваемой задаче. Обозначим:

, , , .

Тогда

, . (2.2)

Обратим внимание, что почти все элементы матриц в (2.2) мы уже знаем (см. последнюю строку «сумма» таблицы 1.1). Не знаем только Σx_i1 x_i2.

Система (2.1) в матричном виде запишется, как

.

Ее решением будет вектор A:

, (2.3)

где - матрица, обратная к матрице ().

Решение задачи. Используя последнюю строку «сумма» таблицы 1.1, в которой нами уже рассчитаны значения Σx_i1, Σx²_i1, Σx_i2, Σx²_i2 и др., а также отдельно дополнительно вычислив значение Σx_i1x_i2 (в нашем примере оно равно 11095), получим:

, .

Найдем матрицу , обратную к матрице . Для этого сначала вычислим главный определитель:

Определим матрицу алгебраических дополнений

,

где . Здесь M_ij-минор элемента, стоящего на пересечении i-й строки и j-го столбца матрицы . Например,

и т. д.

Окончательно получим

.

Составляем так называемую присоединенную матрицу ,

.

Отметим, что в данном случае D^T=D, так как матрица D симметрична.

Наконец,

. (2.4)

По формуле (2.3) находим вектор оценок A:

.

Таким образом,

. (2.5)

2.2. Необходимые сведения. Напомним, что важной характеристикой качества подбора уравнения регрессии является коэффициент детерминации R². Для множественной регрессии R² рассчитывается по той же формуле (1.9), что и в случае парной регрессии:

.

Напомним, что здесь - выборочное среднее,y_i - выборочные значения зависимой переменной y, - значения зависимой переменной, вычисленные по уравнению множественной регрессии. Левая часть равенства, т.е.интерпретируется как мера рассеивания переменнойy относительно ее среднего значения . Эта мера раскладывается на две составляющие. Первая часть- это мера разброса, «объясненная» с помощью уравнения регрессии. Вторая часть- это мера разброса, «не объясненного» уравнением регрессии.

Коэффициент детерминации R², как и выше, определяется по формуле:

, или .

Значение R² характеризует ту долю дисперсии переменной y, которая обуславливается, или которую можно «объяснить» уравнением регрессии .Если R² равен 1, то имеет место полная корреляция с моделью, то есть нет различия между фактическим и оценочным значениями y. В противоположном случае, если коэффициент детерминации равен 0, то уравнение регрессии неудачно для предсказания значений y.

Коэффициент детерминации R² равен квадрату коэффициента множественной корреляции. Коэффициент множественной корреляции R определяется по формуле:

.

Решение задачи. Для вычисления линии модели , остатковe_i и других переменных, необходимых расчета R², нужно сформировать таблицу, аналогичную таблице 1.7, применявшуюся для парной регрессии. Для экономии места здесь она не приводится. Можно проверить, что для уравнения (2.4)

;

;

.

Коэффициент детерминации R²=0,94. Следовательно, регрессия y на x₁ и x₂ объясняет 94% колебаний значений y. Это свидетельствует о значительном суммарном влиянии независимых переменных x₁ и x₂ на зависимую переменную y.

Качество уравнения множественной регрессии, так же, как и парной, оценивает F-тест. Напомним, что он основан на проверке гипотезы H₀ о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Фактическое значение F-статистики Фишера F_ф определяется по формуле (1.12) как отношение объясненной суммы квадратов в расчете на одну независимую переменную к остаточной сумме квадратов в расчете на одну степень свободы:

.

В нашем случае df₁ =m=2, df₂ = n - m – 1 = 16 – 2 – 1. Поэтому получаем:

.

При уровне значимости 0,05 и df₁ = 2, df₂ = 13 табличное значение F_т = 3,81. Неравенство F_т<F_ф выполняется, гипотеза H₀: α₁= α₂=0 отклоняется и признается статистическая значимость уравнения регрессии.

2.3. Проверим полученные результаты с помощью Пакет анализа Microsoft Excel. Зададим необходимые параметров в окне «Регрессия» Пакета анализа, см. рисунок 2.1.

Рисунок 2.1 - Задание параметров раздела «Регрессия» Пакета анализа

Таблица 2.1 регрессионной статистики подтверждает правильность найденных коэффициентов детерминации R² и множественной корреляции R.

Таблица 2.1 - Регрессионная статистика

Множественный R	0,97
R-квадрат	0,94
Нормированный R-квадрат	0,93
Стандартная ошибка	0,69
Наблюдения	16

В таблице 2.2 дисперсионногоанализа, как и в п.2.2, получено: F_ф=106,4.

Таблица 2.2 - Дисперсионный анализ

	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	101,57	50,78	106,4	0,000
Остаток	13	6,20	0,48
Итого	15	107,77

Это подтверждает правильность отклонения гипотезы H₀: α₁=α₂=0 и статистическую значимость уравнения регрессии. Напомним, что технология расчетов всех чисел в таблице 2.2 пояснена ранее в п. 1.3.

В таблице 2.3 показаны оценки коэффициентов регрессии и их статистики, полученные с помощью Пакета анализаMicrosoft Excel.

Столбец «коэффициенты» убеждает нас в правильности уравнения регрессии (2.5), полученного «вручную» по формуле (2.3).

Таблица 2.3 - Коэффициенты

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	10,5	0,879	12,0	0	8,65	12,45
x1	-1,42	0,109	-13,0	0	-1,66	-1,18
x2	0,050	0,00578	8,65	0	0,0375	0,0623

Стандартные ошибки в столбце 3, определяющие доверительные интервалы коэффициентов и необходимые для расчета t-статистик, для множественной регрессии рассчитываются несколько иначе, чем для парной:

, j=0,1,…m.

Здесь z_jj – диагональные элементы обратной матрицы , полученные в выражении (2.4). Например, стандартна ошибка a₀, как и в таблице 2.3, равна:

.

Анализ t-статистик Стьюдента позволяет отвергнуть нулевые гипотезы H₀: α₀=0 , H₀: α₁=0 H₀: α₂=0 для каждого параметра в пользу альтернативной гипотезы. Таким образом, все параметры значимы, и их необходимо включать в модель.

2.4. Под точечным прогнозом среднего значения цены новой партии автомобилей понимается значение , где -вектор независимых переменных, для которого определяется прогноз. В нашем случае = 3 года - это возраст автомобиля. =165 л.с. - мощность двигателя.

Под интервальным прогнозом среднего значения цены автомобилей понимается доверительный интервал цены, который находится по формуле

, (2.6)

где

, - соответственно верхняя и нижняя границы доверительного интервала,

- вектор независимых переменных, для которого определяется интервал,

- квантиль распределения Стьюдента, (1-) - доверительная вероятность, n - количество наблюдений, (n-3) - число степеней свободы,

,

, ,i=1,…,n.

Нахождение интервальных и точечных прогнозов по уравнению множественной регрессии проводится по следующей схеме.

Определяем вектор независимых переменных , для которого необходимо получить прогноз. В соответствии с условием задачи.

Находим точечный прогноз:

Для нахождения интервального прогноза вычислим значения всех параметров, входящих в формулу (2.6)

.

,

Тогда .

Пусть 1-=0,9. Тогда =t_0,95;13 = 1,771. Поэтому:

.

Следовательно,

; .

Результаты вычислений целесообразно оформить в виде таблицы 2.4:

Таблица 2.4 - Прогноз

	Точечный прогноз		Интервальный прогноз
(1; 3; 165)	14,5	0,40	13,8	15,2

2.5. На основании проведенных расчетов и полученных статистических характеристик можно сделать определенные выводы относительно взаимосвязей между исследуемыми экономическими показателями. Рассмотрим вначале зависимость цены от возраста. Так как =-0,78 и проверка значимости этого коэффициента показала его существенное отличие от нуля, то есть основания утверждать, что между переменнымиy и x₁ существует достаточно тесная отрицательная линейная зависимость, которая может быть отражена с помощью найденного уравнения регрессии .

Коэффициент a₀=16,1 в данном случае имеет экономический смысл. Он формально определяет цену при x₁=0, т.е. цену нового автомобиля.

Коэффициент a₁ = -1,26 также имеет вполне определенный экономический смысл, поскольку характеризует размер прироста цены, обусловленного приростом возраста на единицу, т.е. при увеличении возраста на 1 год следует ожидать уменьшения цены на 1,26 тыс. у.е.

Необходимо особо подчеркнуть, что слова «следует ожидать снижения (прироста)...» в предыдущем предложении нельзя заменить словами «снижение цены составит...», так как уравнение регрессии y от x₁ представляет собой лишь некоторую оценку стохастической зависимости между y и x₁. Это уравнение характеризует так называемое среднее значение цены в зависимости от возраста автомобиля. Слово «среднее» выражает здесь тот факт, что реальное значение цены y_i, соответствующее некоторому реальному возрасту x_i1, будет находиться в некоторой окрестности значения .

Значимое значение = 0,44 (см. п.1.2) свидетельствует о том, что между y и x₂ существует достаточно тесная линейная зависимость. Экономический смысл коэффициента b₁ в уравнении аналогичен смыслу коэффициентаa₁ в уравнении , т.е.b₁ показывает, какого прироста цены следует ожидать при увеличении мощности двигателя на единицу – на 1 л.с.

В результате исследования зависимости объема цены от двух факторов - возраста и мощности двигателя, получено уравнение множественной регрессии .

Содержательный смысл найденных коэффициентов уравнения состоит в следующем. Величина a₁ = -1,42 показывает, что при увеличении возраста на 1 год и фиксированной (неизменной) мощности двигателя следует ожидать снижения цены автомобиля на 1,42 тыс. у. е.

Коэффициент a₂ =0,05 показывает, что при увеличении мощности двигателя на 1 л.с. и фиксированном возрасте следует ожидать увеличения цены на 0,05 тыс. у. е.

Сравнение результатов, полученных на основе анализа уравнений парной регрессии, с результатами, полученными на основе анализа уравнения множественной регрессии, может создать представление об их противоречивости, поскольку оценки параметров заметно различаются. Однако здесь нет противоречия. Действительно, исследуя зависимость , мы исходим из того, что на цену влияет один единственный фактор – возраст автомобиля, а все остальные объясняющие факторы не учитывались (отбрасывались). Очевидно, что в реальности на цену влияет множество факторов: вес автомобиля, расход топлива, время разгона, регион производителя и т.д. Поэтому, рассматривая модель, мы фактически объединили все влияющие наy факторы в один результирующий и назвали этот фактор возрастом автомобиля. Точно такое же объединение всех факторов в один результирующий фактор было осуществлено при рассмотрении модели . Поэтому коэффициенты, отражающие степень (или силу) влияния каждого из двух рассмотренных факторов в отдельности на зависимую переменную, оказались достаточно большими.

Для более точного описания изменения исследуемого показателя следует включать в эконометрическую модель по возможности большее количество объясняющих переменных (факторов). Вместе с тем, увеличение количества объясняющих факторов должно проводиться достаточно осторожно. С одной стороны, в числе этих факторов может оказаться такой, который не оказывает сколько-нибудь существенное влияние на объясняемую переменную y. С другой стороны, математическая модель может оказаться слишком громоздкой и неудобной для анализа. Существуют различные методы выявления и отбора существенных факторов. Простейший основан на вычислении и анализе коэффициентов парной корреляции ,, ...,, гдеy - результирующий признак, а x₁, x₂,..., x_m, - объясняющие факторы. Другой подход основан на рассмотренном дисперсионном анализе модели.

Следует помнить, что прежде, чем применять формальные, математические методы отбора и выявления существенных факторов, следует провести тщательный содержательный анализ изучаемого объекта или процесса.

Используемое в задачах 1 и 2 понятие доверительной вероятности характеризует степень уверенности в справедливости получаемого результата. Чем ближе к единице значение доверительной вероятности (1-), тем с большей уверенностью можно утверждать, что прогнозируемое значение результирующего признака будет находиться в найденном доверительном интервале. Следует иметь в виду, что ширина доверительного интервала существенно зависит от значения (1-): чем ближе к единице величина (1-), тем шире доверительный интервал и, следовательно, хуже качество прогноза.

Очевидно, что достаточно широкий доверительный интервал прогноза не имеет никакого практического значения. Действительно, если мы получим результат типа:

«С вероятностью 0,999 среднее значение цены будет находиться в пределах от 0 до 20 тыс. у. е.», то от такого результата нет никакой практической пользы. При этом степень его достоверности оценивается в 99,9%. Поэтому при определении интервального прогноза приходится искать разумный компромисс между качеством прогноза, т.е. шириной доверительно интервала, и его достоверностью, т.е. значением доверительной вероятности.

№	Название	Количество единиц в библиотеке
	Кремер Н. Ш.   Эконометрика: учеб. для вузов / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко; под ред. Кремера Н. Ш. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. - 311с.	75
2	Практикум по эконометрике: учеб. пособие для экон. вузов / Елисеева И. И., Курышева С. В., Гордеенко Н. М. и др. ; под ред. Елисеевой И. И. - М.: Финансы и статистика, 2001. - 191с.	100
3.	Домбровский В. В.   Эконометрика: учебник / Федер. агентство по образованию, Нац. фонд подгот. кадров. - М.: Новый учеб., 2004. - 342с	10
4.	Эконометрика. Практикум / Сост. Иванова В.И., Кулагина А.Г., Ярдухин А.К. –– Чуваш. ун-т, Чебоксары, 2008. – 88 с	100
5.	Эконометрика: Метод. указания к контрольным заданиям / Сост. Никитин В.В., Кадышев Е.Н., Юсупов И.Ю. – Чуваш. ун-т, Чебоксары, 2004. – 64 с.	100